En física quàntica, una anomalia o anomalia quàntica és el fet que una simetria de l'acció clàssica d'una teoria no sigui una simetria de cap regularització de la teoria quàntica completa. En física clàssica, una anomalia clàssica és el fet que una simetria no es pugui restaurar en el límit en què el paràmetre de trencament de la simetria tendeix a zero. Potser la primera anomalia coneguda va ser l'anomalia dissipativa en la turbulència: la reversibilitat temporal roman trencada (i la taxa de dissipació d'energia finita) al límit de la viscositat que s'anul·la.
En teoria quàntica, la primera anomalia descoberta va ser l'anomalia d'Adler-Bell-Jackiw, en què el corrent vectorial axial es conserva com una simetria clàssica de l'electrodinàmica, però es trenca per la teoria quantitzada. La relació d'aquesta anomalia amb el teorema de l'índex d'Atiyah-Singer va ser un dels èxits més celebrats de la teoria. Tècnicament, una simetria anòmala en una teoria quàntica és una simetria de l'acció, però no de la mesura, i per tant no de la funció de partició en conjunt.
Anomalies globals Una anomalia global és la violació quàntica d'una conservació de corrent de simetria global. Una anomalia global també pot significar que una anomalia global no pertorbativa no pot ser capturada per un bucle o cap càlcul pertorbatiu del diagrama de Feynman; exemples inclouen l'anomalia de Witten i l'anomalia de Wang-Wen-Witten.
Escalat i renormalització L'anomalia global més prevalent en física s'associa amb la violació de la invariància d'escala per correccions quàntiques, quantificades en la renormalització. Com que els reguladors generalment introdueixen una escala de distància, les teories clàssicament invariants a escala estan subjectes al flux de grup de renormalització, és a dir, al canvi de comportament amb l'escala d'energia. Per exemple, la gran força de la força nuclear forta resulta d'una teoria que està feblement acoblada a distàncies curtes que flueix a una teoria fortament acoblada a distàncies llargues, a causa d'aquesta anomalia d'escala.
Simetries rígides Les anomalies en les simetries globals abelianes no plantegen problemes en una teoria quàntica de camps, i es troben sovint (vegeu l'exemple de l'anomalia quiral). En particular, les simetries anòmales corresponents es poden solucionar fixant les condicions de contorn de la integral de camí.
Transformacions de gran calibre Les anomalies globals en simetries que s'acosten a la identitat prou ràpidament a l'infinit, però, plantegen problemes. En exemples coneguts, aquestes simetries corresponen a components desconnectats de simetries de gauge. Aquestes simetries i possibles anomalies es produeixen, per exemple, en teories amb fermions quirals o formes diferencials autoduals acoblades a la gravetat en dimensions, i també en l'anomalia de Witten en una teoria de gauge SU(2) ordinària de 4 dimensions.
Com que aquestes simetries s'anul·len a l'infinit, no poden ser restringides per condicions de contorn i, per tant, s'han de sumar a la integral de camí. La suma de l'òrbita de gauge d'un estat és una suma de fases, que formen un subgrup d'U(1). Com que hi ha una anomalia, no totes aquestes fases són iguals, per tant no és el subgrup identitat. La suma de les fases en tots els altres subgrups d'U(1) és igual a zero, i per tant totes les integrals de camí són iguals a zero quan hi ha aquesta anomalia i no existeix una teoria.
Es pot produir una excepció quan l'espai de configuracions està desconnectat, en aquest cas es pot tenir la llibertat d'escollir integrar sobre qualsevol subconjunt dels components. Si les simetries de gauge desconnectades mapegen el sistema entre configuracions desconnectades, aleshores hi ha en general un truncament consistent d'una teoria en què només s'integra sobre aquells components connectats que no estan relacionats per transformacions de gauge grans. En aquest cas, les transformacions de gauge grans no actuen sobre el sistema i no fan que la integral de camí s'anul·li.
Anomalia de Witten i anomalia de Wang-Wen-Witten En la teoria de gauge SU(2) en un espai de Minkowski de 4 dimensions, una transformació de gauge correspon a l'elecció d'un element del grup unitari especial SU(2) en cada punt de l'espai-temps. El grup d'aquestes transformacions de gauge és connex.
Tanmateix, si només ens interessa el subgrup de transformacions de gauge que s'anul·len a l'infinit, podem considerar que la 3-esfera a l'infinit és un únic punt, ja que les transformacions de gauge s'anul·len allà de totes maneres. Si la 3-esfera a l'infinit s'identifica amb un punt, el nostre espai de Minkowski s'identifica amb la 4-esfera. Així veiem que el grup de transformacions de gauge que s'anul·len a l'infinit en el 4-espai de Minkowski és isomorf al grup de totes les transformacions de gauge de la 4-esfera.
Aquest és el grup que consisteix en una elecció contínua d'una transformació de gauge a SU(2) per a cada punt de la 4-esfera. En altres paraules, les simetries de gauge estan en correspondència biunívoca amb les aplicacions de la 4-esfera a la 3-esfera, que és la varietat de grup de SU(2). L'espai d'aquestes aplicacions no està connectat, sinó que els components connectats es classifiquen pel quart grup d'homotopia de la 3-esfera, que és el grup cíclic d'ordre dos. En particular, hi ha dos components connectats. Un conté la identitat i s'anomena component identitat, l'altre s'anomena component desconnectat.
Quan una teoria conté un nombre senar de sabors de fermions quirals, les accions de les simetries de gauge en el component identitat i el component desconnectat del grup de gauge en un estat físic difereixen en un signe. Així, quan es suma totes les configuracions físiques de la integral de camí, es troba que les contribucions vénen en parelles amb signes oposats. Com a resultat, totes les integrals de camí s'anul·len i la teoria no existeix.
La descripció anterior d'una anomalia global és per a la teoria de gauge SU(2) acoblada a un nombre senar de fermions de Weyl (iso-)spin-1/2 en 4 dimensions espai-temps. Això es coneix com l'anomalia SU(2) de Witten. El 2018, Wang, Wen i Witten van descobrir que la teoria de gauge SU(2) acoblada a un nombre senar de fermions de Weyl (iso-)spin-3/2 en 4 dimensions espai-temps té una anomalia global no pertorbativa més subtil detectable en certes varietats sense espín sense estructura d'espín. Aquesta nova anomalia s'anomena la nova anomalia SU(2). Ambdós tipus d'anomalies tenen anàlegs de (1) anomalies de gauge dinàmiques per a teories de gauge dinàmiques i (2) l'anomalia de 't Hooft de simetries globals. A més, ambdós tipus d'anomalies són classes mod 2 (en termes de classificació, tots dos són grups finits Z 2 de classes d'ordre 2) i tenen anàlegs en dimensions espai-temps de 4 i 5. Més generalment, per a qualsevol enter natural N, es pot demostrar que un nombre senar de multiplets de fermions en representacions de (iso)-espín pot tenir l'anomalia SU(2); un nombre senar de multiplets de fermions en representacions de (iso)-espín pot tenir la nova anomalia SU(2). Per als fermions en la representació d'espín semi-enter, es demostra que només hi ha aquests dos tipus d'anomalies SU(2) i les combinacions lineals d'aquestes dues anomalies; aquestes classifiquen totes les anomalies globals SU(2). Aquesta nova anomalia SU(2) també juga un paper important per confirmar la consistència de la teoria de gran unificació SO(10), amb un grup de gauge Spin(10) i fermions quirals en les representacions espinorals de 16 dimensions, definides en varietats sense espín.
Anomalies superiors que impliquen simetries globals superiors: la teoria de gauge pura de Yang-Mills com a exemple El concepte de simetries globals es pot generalitzar a simetries globals superiors, de manera que l'objecte carregat per a la simetria ordinària de forma 0 és una partícula, mentre que l'objecte carregat per a la simetria de forma n és un operador estès de dimensionalitat n. Es constata que la teoria pura de Yang-Mills en 4 dimensions amb només camps de gauge SU(2) amb un terme theta topològic pot tenir una anomalia de 't Hooft entre la simetria d'inversió temporal de forma 0 i la simetria central Z2 de forma 1. L'anomalia de 't Hooft de la teoria pura de Yang-Mills en 4 dimensions es pot escriure amb precisió com una teoria de camps topològics invertibles en 5 dimensions o matemàticament com un invariant de bordisme en 5 dimensions, generalitzant la imatge d'entrada de l'anomalia a aquesta classe Z2 d'anomalia global que implica simetries més altes. En altres paraules, podem considerar la teoria pura de Yang-Mills en 4 dimensions amb un terme theta topològic. viuen com a condició de frontera d'una determinada teoria de camps topològics invertibles de classe Z2, per tal de coincidir amb les seves anomalies superiors a la frontera de 4 dimensions.
Anomalies del calibre Les anomalies en les simetries de gauge condueixen a una inconsistència, ja que es requereix una simetria de gauge per cancel·lar graus de llibertat no físics amb una norma negativa (com ara un fotó polaritzat en la direcció del temps). Un intent de cancel·lar-les, és a dir, de construir teories coherents amb les simetries de gauge, sovint condueix a restriccions addicionals a les teories (tal és el cas de l'anomalia de gauge en el Model Estàndard de la física de partícules). Les anomalies en les teories de gauge tenen connexions importants amb la topologia i la geometria del grup de gauge.
Les anomalies en les simetries de gauge es poden calcular exactament al nivell d'un bucle. A nivell d'arbre (bucles zero), es reprodueix la teoria clàssica. Els diagrames de Feynman amb més d'un bucle sempre contenen propagadors de bosons interns. Com que els bosons sempre poden tenir una massa sense trencar la invariància de gauge, és possible una regularització de Pauli-Villars d'aquests diagrames mentre es preserva la simetria. Sempre que la regularització d'un diagrama sigui coherent amb una simetria determinada, aquest diagrama no genera una anomalia respecte a la simetria.
Les anomalies de gauge vectorial són sempre anomalies quirals. Un altre tipus d'anomalia de gauge és l'anomalia gravitacional.
A diferents escales d'energia Les anomalies quàntiques es van descobrir mitjançant el procés de renormalització, quan algunes integrals divergents no es poden regularitzar de manera que totes les simetries es preservin simultàniament. Això està relacionat amb la física d'altes energies. Tanmateix, a causa de la condició de coincidència d'anomalies de Gerard 't Hooft, qualsevol anomalia quiral es pot descriure pels graus de llibertat UV (els rellevants a altes energies) o pels graus de llibertat IR (els rellevants a baixes energies). Per tant, no es pot cancel·lar una anomalia mitjançant una compleció UV d'una teoria: una simetria anòmala simplement no és una simetria d'una teoria, tot i que clàssicament ho sembla.
Cancel·lació d'anomalies esquerra Com que la cancel·lació d'anomalies és necessària per a la consistència de les teories de gauge, aquestes cancel·lacions són de vital importància per restringir el contingut de fermions del Model Estàndard, que és una teoria de gauge quiral.
Per exemple, l'anul·lació de l'anomalia mixta que implica dos generadors SU(2) i una hipercàrrega U(1) restringeix totes les càrregues en una generació de fermions a sumar zero, Bouchiat, Cl, Iliopoulos, J, and Meyer, Ph (1972). "An anomaly-free version of Weinberg's model". Physics Letters B38, 519-523. i, per tant, dicta que la suma del protó més la suma de l'electró s'anul·len: les càrregues dels quarks i els leptons han de ser proporcionals. Específicament, per a dos camps de gauge externs , i una hipercàrrega als vèrtexs del diagrama del triangle, la cancel·lació del triangle requereix
així, per a cada generació, les càrregues dels leptons i els quarks estan equilibrades, , d'on .