En matemàtiques, els grups d'homotopia s'utilitzen en topologia algebraica per classificar espais topològics. El primer i més simple grup d'homotopia és el grup fonamental, denotat com que registra informació sobre bucles en un espai. Intuïtivament, els grups d'homotopia registren informació sobre la forma bàsica, o forats, d'un espai topològic.

Per definir el grup d'homotopia n-èsim, les aplicacions que conserven el punt base d'una esfera n-dimensional (amb punt base) en un espai donat (amb punt base) es recopilen en classes d'equivalència, anomenades classes d'homotopia. Dues aplicacions són homotòpiques si una es pot deformar contínuament en l'altra. Aquestes classes d'homotopia formen un grup, anomenat grup d'homotopia n -èsim, de l'espai donat X amb punt base. Els espais topològics amb diferents grups d'homotopia mai són homeomorfs, però els espais topològics que are not homeomorfs can tenir els mateixos grups d'homotopia.

La noció d'homotopia de camins va ser introduïda per Camille Jordan.

Introducció En les matemàtiques modernes és comú estudiar una categoria associant a cada objecte d'aquesta categoria un objecte més simple que encara conservi informació suficient sobre l'objecte d'interès. Els grups d'homotopia són una manera d'associar grups a espais topològics. miniatura|250x250px|Un torus esquerra|miniatura|152x152px|Una esfera Aquest vincle entre la topologia i els grups permet als matemàtics aplicar coneixements de la teoria de grups a la topologia. Per exemple, si dos objectes topològics tenen grups d'homotopia diferents, no poden tenir la mateixa estructura topològica — un fet que pot ser difícil de demostrar només utilitzant mitjans topològics. Per exemple, el tor és diferent de l'esfera: el tor té un "forat"; l'esfera no. Tanmateix, com que la continuïtat (la noció bàsica de la topologia) només tracta de l'estructura local, pot ser difícil definir formalment la diferència global òbvia. Els grups d'homotopia, però, porten informació sobre l'estructura global.

Com per exemple: el primer grup d'homotopia del tor és perquè la coberta universal del tor és el pla euclidià mapatge al torus Aquí el quocient és a la categoria d'espais topològics, en lloc de grups o anells. D'altra banda, l'esfera satisfà: perquè cada bucle es pot contraure a una aplicació constant (vegeu grups d'homotopia d'esferes per a això i exemples més complicats de grups d'homotopia). Per tant, el tor no és homeomorf a l'esfera.

Definició A l'esfera n escollim un punt base a. Per a un espai X amb punt base b, definim ser el conjunt de classes d'homotopia de les aplicacions que mapen el punt base a al punt base b. En particular, les classes d'equivalència vénen donades per homotopies que són constants al punt base de l'esfera. De manera equivalent, defineix ser el grup de classes d'homotopia de mapes des del n-cub fins a X que porten el límit del n-cub fins a b. miniatura|240x240px|Composició en el grup fonamental Per a les classes d'homotopia formen un grup. Per definir l'operació de grup, recordeu que en el grup fonamental, el producte de dos bucles es defineix mitjançant la configuració La idea de composició en el grup fonamental és la de recórrer el primer camí i el segon successivament, o, equivalentment, ajuntar els seus dos dominis. El concepte de composició que volem per al grup d'homotopia n -èsim és el mateix, excepte que ara els dominis que enganxem són cubs, i els hem d'enganxar al llarg d'una cara. Per tant, definim la suma de les aplicacions

per la fórmula Per a la definició corresponent en termes d'esferes, defineix la suma

de mapes ser compost amb h, on és el mapa de a la suma en falca de dues n- esferes que col·lapsa l'equador i h és el mapa des de la suma en falca de dues n- esferes fins a X que es defineix com a f a la primera esfera i g a la segona.

Si llavors és abelià.For a proof of this, note that in two dimensions or greater, two homotopies can be "rotated" around each other. See Eckmann–Hilton argument. A més, de manera similar al grup fonamental, per a un espai connectat per camins, dues opcions qualssevol de punt base donen lloc a isomorfs see Allen Hatcher#Books section 4.1.

És temptador intentar simplificar la definició de grups d'homotopia ometent els punts base, però això no sol funcionar per a espais que no estan simplement connectats, ni tan sols per a espais connectats per camins. El conjunt de classes d'homotopia de mapes des d'una esfera fins a un espai connectat per camins no és el grup d'homotopia, sinó que és essencialment el conjunt d'òrbites del grup fonamental sobre el grup d'homotopia, i en general no té cap estructura de grup natural.

S'ha trobat una sortida a aquestes dificultats definint grupoides d'homotopia superior d'espais filtrats i de n- cubs d'espais. Aquests estan relacionats amb grups d'homotopia relativa i amb grups d'homotopia n -àdics, respectivament. Un teorema de van Kampen d'homotopia superior permet obtenir informació nova sobre grups d'homotopia i fins i tot sobre tipus d'homotopia. Per a més informació i referències, vegeu "Teoria de grups de dimensió superior" i les referències següents.

Seqüència exacta llarga d'una fibració Deixa ser una fibració de Serre que preserva el punt base amb fibra és a dir, una aplicació que posseeix la propietat d'elevació d'homotopia respecte als complexos CW. Suposem que B està connectat per camins. Aleshores hi ha una seqüència exacta llarga de grups d'homotopia

Aquí els mapes que impliquen no són homomorfismes de grup perquè no són grups, però són exactes en el sentit que la imatge és igual al nucli.

Exemple: la fibració de Hopf. Sigui B igual a i E igual Sigui p la fibració de Hopf, que té fibra De la seqüència exacta llarga i el fet que per trobem que per En particular,

En el cas d'un espai de cobertura, quan la fibra és discreta, tenim que és isomorf a per això s'incrusta injectivament en per a tot positiu i que el subgrup de que correspon a la incrustació de té classes laterals en bijecció amb els elements de la fibra.

Quan la fibració és la fibra de mapatge, o dualment, la cofibració és el con de mapatge, aleshores la seqüència exacta (o dualment, coexacta) resultant ve donada per la seqüència de Puppe.

Espais i esferes homogènies Hi ha moltes realitzacions d'esferes com a espais homogenis, que proporcionen bones eines per calcular grups d'homotopia de grups de Lie i la classificació de fibrats principals en espais fets d'esferes.

Grup ortogonal especial Hi ha una fibració donant la seqüència exacta llarga que calcula els grups d'homotopia d'ordre baix de per des de és -connectat. En particular, hi ha una fibració

els grups d'homotopia inferior del qual es poden calcular explícitament. Com que i hi ha la fibraciótenim per Utilitzant això, i el fet que que es pot calcular utilitzant el sistema de Postnikov, tenim la seqüència exacta llarga Des de tenim A més, la fila del mig dóna des del mapa de connexió és trivial. A més, podem saber té dues torsions.

Aplicació a feixos d'esferes Milnor va utilitzar el fet per classificar els feixos de 3 esferes sobre en particular, va ser capaç de trobar esferes exòtiques que són varietats llises anomenades esferes de Milnor només homeomorfes a no difeomorf. Tingueu en compte que qualsevol fibrat d'esferes es pot construir a partir d'un -fibra vectorial, que té un grup estructural des de pot tenir l'estructura d'una varietat riemanniana orientada.

Espai projectiu complex Hi ha una fibració on és l'esfera unitària de Aquesta seqüència es pot utilitzar per mostrar la connexió simple de per a tots

Mètodes de càlcul El càlcul dels grups d'homotopia és en general molt més difícil que alguns dels altres invariants d'homotopia apresos en topologia algebraica. A diferència del teorema de Seifert-van Kampen per al grup fonamental i el teorema d'excisió per a l'homologia singular i la cohomologia, no hi ha cap manera senzilla coneguda de calcular els grups d'homotopia d'un espai dividint-lo en espais més petits. Tanmateix, els mètodes desenvolupats a la dècad>a de 1980 que impliquen un teorema de tipus van Kampen per a grupoides d'homotopia superior han permès nous càlculs sobre tipus d'homotopia i, per tant, sobre grups d'homotopia. Vegeu un exemple de resultat a l'article de 2010 d'Ellis i Mikhailov.

Per a alguns espais, com ara tor, tots els grups d'homotopia superior (és a dir, els grups d'homotopia segona i superior) són trivials. Aquests són els anomenats espais asfèrics. Tanmateix, malgrat la intensa investigació en el càlcul dels grups d'homotopia de les esferes, fins i tot en dues dimensions no es coneix una llista completa. Per calcular fins i tot el quart grup d'homotopia de es necessiten tècniques molt més avançades del que suggereixen les definicions. En particular, la seqüència espectral de Serre es va construir precisament per a aquest propòsit.

Certs grups d'homotopia d'espais n-connexos es poden calcular per comparació amb grups d'homologia mitjançant el teorema de Hurewicz.

Una llista de mètodes per calcular grups d'homotopia La seqüència exacta llarga de grups d'homotopia d'una fibració. Teorema de Hurewicz, que té diverses versions. Teorema de Blakers-Massey, també conegut com a excisió per a grups d'homotopia. Teorema de la suspensió de Freudenthal, un corol·lari de l'excisió per a grups d'homotopia.

Grups d'homotopia relativa També hi ha una generalització útil dels grups d'homotopia, anomenats grups d'homotopia relativa per a un parell on A és un subespai de

La construcció està motivada per l'observació que per a una inclusió hi ha un mapa induït a cada grup d'homotopia que no és en general una injecció. De fet, els elements del nucli es coneixen considerant un representant i prenent una homotopia basada al mapa constant o en altres paraules mentre que la restricció a qualsevol altre component del límit de és trivial. Per tant, tenim la construcció següent:

Els elements d'aquest grup són classes d'homotopia de mapes basats en que porten la frontera a A. Dos mapes s'anomenen homotòpics respecte a A si són homotòpics per una homotopia que preserva el punt base de manera que, per a cada p en i t en , l'element és a A. Tingueu en compte que els grups d'homotopia ordinaris es recuperen per al cas especial en què és el singletó que conté el punt base.

Aquests grups són abelians per a però per formen el grup superior d'un mòdul creuat amb el grup inferior

També hi ha una seqüència exacta llarga de grups d'homotopia relativa que es pot obtenir mitjançant la seqüència de Puppe:

Nocions relacionades Els grups d'homotopia són fonamentals per a la teoria d'homotopia, que al seu torn va estimular el desenvolupament de categories de models. És possible definir grups d'homotopia abstractes per a conjunts simplicials.

Els grups d'homologia són similars als grups d'homotopia, ja que poden representar "forats" en un espai topològic. Tanmateix, els grups d'homotopia sovint són molt complexos i difícils de calcular. En canvi, els grups d'homologia són commutatius (com també ho són els grups d'homotopia superior). Donat un espai topològic el seu grup d'homotopia n-èsim es denota per i el seu grup d'homologia n-èsim es denota per o

Referències

Categoria:Topologia algebraica