En una àrea de les matemàtiques anomenada topologia diferencial, una esfera exòtica és una varietat diferenciable M que és homeomorfa però no difeomorfa a la n-esfera euclidiana estàndard. És a dir, M és una esfera des del punt de vista de totes les seves propietats topològiques, però que porta una estructura suau que no és la familiar (d'aquí el nom "exòtic").

Les primeres esferes exòtiques van ser construïdes per John Milnor (1956) en dimensió com - paquets sobre . Va demostrar que hi ha almenys 7 estructures diferenciables a la 7-esfera. En qualsevol dimensió va mostrar que les classes de difeomorfisme d'esferes exòtiques orientades formen els elements no trivials d'un monoide abelià sota suma connexa, que és un grup abelià finit si la dimensió no és 4. La classificació d'esferes exòtiques per Michel Kervaire i Milnor (1963) va demostrar que les 7-esferes exòtiques orientades són els elements no trivials d'un grup cíclic d'ordre 28 sota l'operació de suma connexa. Aquests grups es coneixen com a grups de Kervaire-Milnor.

Més generalment, en qualsevol dimensió , hi ha un grup abelià finit els elements del qual són les classes d'equivalència d'estructures llises a S n, on dues estructures es consideren equivalents si hi ha un difeomorfisme que preserva l'orientació i porta una estructura a l'altra. L'operació de grup es defineix per , on x i y són representants arbitraris de les seves classes d'equivalència, i denota l'estructura llisa a la S n llisa que és la suma connexa de x i y. Cal demostrar que aquesta definició no depèn de les eleccions fetes; de fet, això es pot demostrar.

Introducció La unitat n -esfera, , és el conjunt de totes les (n + 1)-pla de nombres reals, de manera que la suma Per exemple, és un cercle, mentre que és la superfície d'una bola ordinària de radi u en 3 dimensions. Els topòlegs consideren que un espai X és una n- esfera si hi ha un homeomorfisme entre ells, és a dir, cada punt de X es pot assignar exactament a un punt de la n -esfera unitària mitjançant una bijecció contínua amb inversa contínua. Per exemple, un punt x en una n -esfera de radi r es pot fer coincidir homeomòrficament amb un punt de la n- esfera unitària multiplicant la seva distància des de l'origen per De la mateixa manera, un n -cub de qualsevol radi és homeomorf a una n-esfera.

En topologia diferencial, dues varietats llises es consideren equivalents suaus si existeix un difeomorfisme d'una a l'altra, que és un homeomorfisme entre elles, amb la condició addicional que sigui llisa, és a dir, que tingui derivades de tots els ordres en tots els seus punts, i el seu homeomorfisme invers també ha de ser llis. Per calcular les derivades, cal tenir sistemes de coordenades locals definits de manera consistent a X. Els matemàtics (inclòs el mateix Milnor) es van sorprendre el 1956 quan Milnor va demostrar que es podien establir sistemes de coordenades locals consistents a l'esfera 7 de dues maneres diferents que eren equivalents en el sentit continu, però no en el sentit diferenciable. Milnor i altres es van proposar intentar descobrir quantes esferes exòtiques d'aquest tipus podien existir a cada dimensió i entendre com es relacionen entre si. No hi ha estructures exòtiques possibles a l'esfera 1, 2, 3, 5, 6, 12, 56 o 61. Algunes esferes de dimensions superiors només tenen dues estructures diferenciables possibles, d'altres en tenen milers. Si existeixen 4-esferes exòtiques, i si és així quantes, és un problema sense resoldre.

Classificació El monoide d'estructures llises sobre n- esferes és la col·lecció de varietats n- llises orientades que són homeomorfes a la n- esfera, fins al difeomorfisme que preserva l'orientació. L'operació del monoide és la suma connexa. Sempre que , aquest monoide és un grup i és isomorf al grup de classes d' h -cobordisme d'esferes d'homotopia orientades n, que és finita i abeliana. En dimensió 4 no se sap gairebé res sobre el monoide d'esferes llises, més enllà del fet que és finit o numerablement infinit, i abelià, tot i que se sospita que és infinit; vegeu la secció sobre girs de Gluck. Totes les n -esferes d'homotopia són homeomorfes a la n -esfera per la conjectura de Poincaré generalitzada, demostrada per Stephen Smale en dimensions més grans que 4, Michael Freedman en dimensió 4 i Grigori Perelman en dimensió 3. En dimensió 3, Edwin E. Moise va demostrar que cada varietat topològica té una estructura llisa essencialment única (vegeu el teorema de Moise), de manera que el monoide d'estructures llises a la 3-esfera és trivial.

Varietats paral·lelitzables El grup té un subgrup cíclic

representat per n -esferes que enllacen varietats paral·lelitzables. Les estructures de i el quocient

es descriuen per separat a l'article , que va influir en el desenvolupament de la teoria de la cirurgia. De fet, aquests càlculs es poden formular en un llenguatge modern en termes de la seqüència exacta de la cirurgia, tal com s'indica aquí.

El grup és un grup cíclic i és trivial o d'ordre 2 excepte en el cas que , en aquest cas pot ser gran, amb el seu ordre relacionat amb els nombres de Bernoulli. És trivial si n és parell. Si n és 1 mòd 4, té ordre 1 o 2; en particular, té ordre 1 si n és 1, 5, 13, 29 o 61, i William Browder (1969) va demostrar que té ordre 2 si El mod 4 no és de la forma . Del problema invariant de Kervaire, ara gairebé completament resolt, es dedueix que té ordre 2 per a tot n més gran que 126; el cas encara està obert. L'ordre de per és

on B és el numerador de , i és un nombre de Bernoulli. (La fórmula a la literatura topològica difereix lleugerament perquè els topòlegs utilitzen una convenció diferent per anomenar els nombres de Bernoulli; aquest article utilitza la convenció dels teòrics dels nombres.)

Mapa entre quocients El grup quocient https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37b5f6e88ada1153ed766e70cea59bbb36e93e9 té una descripció en termes de grups d'homotopia estables d'esferes mòdul la imatge del J-homomorfisme; és igual al quocient o a l'índex 2. Més precisament, hi ha una aplicació injectiva

on és el grup d'homotopia estable n -èsim d'esferes, i J és la imatge del J -homomorfisme. Com amb , la imatge de J és un grup cíclic, i és trivial o d'ordre 2 excepte en el cas que , en aquest cas pot ser gran, amb el seu ordre relacionat amb els nombres de Bernoulli. El grup quocient és la part "dura" dels grups d'homotopia estables d'esferes, i per tant és la part difícil de les esferes exòtiques, però gairebé completament es redueix al càlcul de grups d'homotopia d'esferes. L'aplicació és o bé un isomorfisme (la imatge és tot el grup), o bé una aplicació injectiva amb índex 2. Aquest últim és el cas si i només si existeix una varietat emmarcada n- dimensional amb invariant de Kervaire 1, que es coneix com el problema invariant de Kervaire. Així, un factor de 2 en la classificació d'esferes exòtiques depèn del problema invariant de Kervaire.

Ordre de Θn L'ordre del grup es dóna en aquesta taula (sequence A001676 en l'OEIS) de (excepte que l'entrada per a és incorrecte per un factor de 2 en el seu article; vegeu la correcció al volum III p. 97 de les obres completes de Milnor). Dim n1234567891011121314order 1111112828699213211111128121992111111111122×261132121112122×261132×2index–2–––2–––––––2 Tingueu en compte que per a la foscor , aleshores són , , , i Es poden calcular més entrades d'aquesta taula a partir de la informació anterior juntament amb la taula de grups d'homotopia estables d'esferes.

Aplicacions Si M és una varietat lineal a trossos, aleshores el problema de trobar les estructures llises compatibles a M depèn del coneixement dels grups . Més precisament, els obstacles a l'existència de qualsevol estructura llisa resideixen en els grups per a diversos valors de k, mentre que si aquesta estructura llisa existeix, totes aquestes estructures llises es poden classificar utilitzant els grups . En particular, els grups Γk s'anul·len si , de manera que totes les varietats PL de dimensió com a màxim 7 tenen una estructura llisa, que és essencialment única si la varietat té dimensió com a màxim 6.

Els següents grups abelians finits són essencialment iguals:

El grup Θn de classes d'h-cobordisme d'homotopia orientada n- esferes. El grup de classes d'h-cobordisme de n- esferes orientades. El grup Γn d'esferes n orientades i retorçades. El grup d'homotopia n (PL/DIFF) Si , el grup d'homotopia n (TOP/DIFF) (si aquest grup té ordre 2; vegeu invariant de Kirby-Siebenmann). El grup d'estructures llises d'una PL n-esfera orientada. Si , el grup d'estructures llises d'una n-esfera topològica orientada. Si , el grup de components del grup de tots els difeomorfismes que preserven l'orientació de Sn−1.

Referències

Categoria:Geometria diferencial Categoria:Topologia diferencial