miniatura|Durant la Segona Guerra Mundial, la producció de tancs alemanys com el Panther va ser estimada amb precisió per la intel·ligència aliada utilitzant mètodes estadístics. En la teoria estadística de l'estimació, el problema del tanc alemany consisteix a estimar el màxim d'una distribució uniforme discreta a partir d'un mostreig sense reemplaçament. En termes senzills, suposem que existeix un nombre desconegut d'elements que estan numerats seqüencialment de l'1 a la N. Es pren una mostra aleatòria d'aquests elements i s'observen els seus números de seqüència; el problema és estimar N a partir d'aquests nombres observats.
El problema es pot abordar mitjançant la inferència freqüentista o la inferència bayesiana, cosa que porta a resultats diferents. L'estimació del màxim de la població basant-se en una sola mostra produeix resultats divergents, mentre que l'estimació basada en múltiples mostres és una qüestió d'estimació pràctica la resposta de la qual és simple (especialment en l'entorn freqüentista) però no òbvia (especialment en l'entorn bayesià).
El problema rep el nom de la seva aplicació històrica per part de les forces aliades durant la Segona Guerra Mundial a l'estimació de la taxa mensual de producció de tancs alemanys a partir de dades molt limitades. Això va explotar la pràctica de fabricació d'assignar i adjuntar seqüències ascendents de números de sèrie als components del tanc (xassís, caixa de canvis, motor, rodes), amb alguns dels tancs finalment capturats en batalla per les forces aliades.
Suposicions Es presumeix que l'adversari ha fabricat una sèrie de tancs marcats amb números enters consecutius, començant pel número de sèrie 1. A més, independentment de la data de fabricació d'un tanc, l'historial de servei o el número de sèrie que porta, la distribució dels números de sèrie que es revelen a l'anàlisi és uniforme, fins al moment en què es realitza l'anàlisi.
Exemple miniatura|Mida de població estimada (N). El nombre d'observacions a la mostra és k. El número de sèrie de la mostra més gran és m. L'anàlisi freqüentista es mostra amb línies de punts. L'anàlisi bayesiana té línies contínues amb mitjana i ombrejat per mostrar el rang des del valor mínim possible fins a la mitjana més 1 desviació estàndard. L'exemple mostra que si s'observen quatre tancs i el número de sèrie més alt és "60", l'anàlisi freqüentista prediu 74, mentre que l'anàlisi bayesiana prediu una mitjana de 88,5 i una desviació estàndard de 138,72. − 88,5 = 50,22 i un mínim de 60 tancs. Al fitxer SVG, passeu el cursor per sobre d'un gràfic per ressaltar-lo. Suposant que als tancs se'ls assignen números de sèrie seqüencials que comencen per 1, suposem que es capturen quatre tancs i que tenen els números de sèrie: 19, 40, 42 i 60.
Un enfocament freqüentista (utilitzant l'estimador no esbiaixat de mínima variància) prediu que el nombre total de tancs produïts serà:
Un enfocament bayesià (utilitzant una prior uniforme sobre els enters de per a qualsevol mida adequada ) prediu que el nombre mitjà de tancs produïts serà molt similar a la predicció freqüentista:
mentre que la mitjana bayesiana prediu que el nombre de tancs produïts seria:
Sigui igual al nombre total de tancs que es preveu que s'hagin produït, igual al número de sèrie més alt observat i igual al nombre de tancs capturats.
La predicció freqüentista es calcula com:
La mediana bayesiana es calcula com:
La mitjana bayesiana es calcula com:
Aquestes quantitats bayesianes es deriven de la distribució posterior bayesiana:
Aquesta funció de massa de probabilitat té una asimetria positiva, relacionada amb el fet que hi ha almenys 60 tancs. A causa d'aquesta asimetria, la mitjana pot no ser l'estimació més significativa. La mediana en aquest exemple és de 74,5, en estreta concordança amb la fórmula freqüentista. Utilitzant l'aproximació de Stirling, la posterior es pot aproximar mitjançant una funció de n que decau exponencialment,
que dóna com a resultat la següent aproximació per a la mediana:
i les següents aproximacions per a la mitjana i la desviació estàndard:
Exemple històric del problema miniatura|Tancs Panther carregats per al transport a unitats de primera línia, 1943. Durant el transcurs de la Segona Guerra Mundial, els aliats occidentals van fer esforços sostinguts per determinar l'abast de la producció alemanya i ho van abordar de dues maneres principals: la recopilació d'intel·ligència convencional i l'estimació estadística. En molts casos, l'anàlisi estadística va millorar substancialment la intel·ligència convencional. En alguns casos, la intel·ligència convencional es va utilitzar juntament amb mètodes estadístics, com va ser el cas de l'estimació de la producció de tancs Panther just abans del Dia D.
L'estructura de comandament aliada havia pensat que els tancs Panzer V (Panther) vistos a Itàlia, amb els seus canons llargs i d'alta velocitat, els canons 75 mm/L70 eren tancs pesants inusuals i només es veurien al nord de França en petites quantitats, de la mateixa manera que es va veure el Tiger I a Tunísia. L'exèrcit dels Estats Units confiava que el tanc Sherman continuaria funcionant bé, com ho havia fet enfront dels tancs Panzer III i Panzer IV al nord d'Àfrica i Sicília. Poc abans del Dia D, els rumors indicaven que s'estaven utilitzant un gran nombre de tancs Panzer V.
Per determinar si això era cert, els aliats van intentar estimar el nombre de tancs que es produïen. Per fer-ho, van utilitzar els números de sèrie dels tancs capturats o destruïts. Els números principals utilitzats eren els números de la caixa de canvis, ja que aquests queien en dues seqüències ininterrompudes. També es van utilitzar els números de xassís i motor, tot i que el seu ús era més complicat. Es van utilitzar diversos altres components per comprovar l'anàlisi. Es van fer anàlisis similars a les rodes, que es va observar que estaven numerades seqüencialment (és a dir, 1, 2, 3, ..., N).
L'anàlisi de les rodes dels tancs va donar una estimació del nombre de motlles de rodes que s'utilitzaven. Una discussió amb fabricants britànics de rodes de carretera va estimar el nombre de rodes que es podien produir a partir d'aquests motlles, cosa que va donar el nombre de tancs que es produïen cada mes. L'anàlisi de les rodes de dos tancs (32 rodes de carretera cadascun, 64 rodes de carretera en total) va donar una estimació de 270 tancs produïts el febrer de 1944, substancialment més del que s'havia sospitat anteriorment.
Els registres alemanys posteriors a la guerra mostraven la producció del mes de febrer El 1944 va ser de 276. L'enfocament estadístic va resultar ser molt més precís que els mètodes d'intel·ligència convencionals, i la frase "problema dels tancs alemanys" va ser acceptada com a descriptor per a aquest tipus d'anàlisi estadística.
L'estimació de la producció no va ser l'únic ús d'aquesta anàlisi de números de sèrie. També es va utilitzar per comprendre la producció alemanya de manera més general, incloent-hi el nombre de fàbriques, la importància relativa de les fàbriques, la longitud de la cadena de subministrament (basada en el decalatge entre la producció i l'ús), els canvis en la producció i l'ús de recursos com el cautxú.
Dades específiques Segons les estimacions convencionals de la intel·ligència aliada, els alemanys produïen al voltant de 1.400 tancs al mes entre juny del1940 i setembre del 1942. Aplicant la fórmula següent als números de sèrie dels tancs capturats, es va calcular que el nombre era de 246 al mes. Després de la guerra, les xifres de producció alemanya capturada del ministeri d'Albert Speer van mostrar que el nombre real era de 245.
Les estimacions per a alguns mesos específics es donen de la següent manera: MesEstimació estadísticaEstimació d'intel·ligènciaRegistres alemanysjuny de 19401691.000122juny de 19412441.550271Agost de 19423271.550342
Anàlisis similars miniatura|La producció de coets V-2 es va estimar amb precisió mitjançant mètodes estadístics. Una anàlisi similar de números de sèrie es va utilitzar per a altres equips militars durant la Segona Guerra Mundial II, amb més èxit per al coet V-2.
Les marques de fàbrica en equipament militar soviètic van ser analitzades durant la Guerra de Corea i per la intel·ligència alemanya durant la Segona Guerra Mundial.
A la dècada del 1980, alguns nord-americans van tenir accés a la línia de producció dels tancs Merkava d'Israel. Els números de producció estaven classificats, però els tancs tenien números de sèrie, cosa que permetia estimar la producció.
La fórmula s'ha utilitzat en contextos no militars, per exemple per estimar el nombre d'ordinadors Commodore 64 construïts, on el resultat (12,5 milions) coincideix amb les estimacions inferiors.
Contramesures Per confondre l'anàlisi de números de sèrie, es poden excloure els números de sèrie o reduir la informació auxiliar utilitzable. Alternativament, es poden utilitzar números de sèrie que resisteixen la criptoanàlisi, de manera més efectiva triant números a l'atzar sense reemplaçament d'una llista que és molt més gran que el nombre d'objectes produïts, o produint números aleatoris i comparant-los amb la llista de números ja assignats; és probable que es produeixin col·lisions tret que el nombre de dígits possibles sigui més del doble del nombre de dígits del nombre d'objectes produïts; això és vàlid per a números de sèrie en qualsevol base.
Alternativament, els números de sèrie seqüencials es poden xifrar amb un xifratge de substitució simple, que permet una descodificació fàcil, però també es pot trencar fàcilment mitjançant l'anàlisi de freqüències : fins i tot si es parteix d'un punt arbitrari, el text clar té un patró (és a dir, els números estan en seqüència). Un exemple es dóna a la novel·la de Ken Follett, Code to Zero, on el xifratge dels números de sèrie del coet Jupiter-C ve donat per: HUNT.SVJoLEX1234567890 La paraula clau aquí és Huntsville (amb lletres repetides omeses) per obtenir una clau de 10 lletres. El número del coet 13 era, per tant, "HN", i el número del coet 24 era "UT".
Anàlisi freqüentista Estimador no esbiaixat de mínima variància Per a l'estimació puntual (estimació d'un únic valor per al total, ), l'estimador no esbiaixat de mínima variància (MVUE o estimador UMVU) ve donat per:
on m és el número de sèrie més gran observat (màxim de la mostra) i k és el nombre de tancs observats (mida de la mostra). Cal tenir en compte que un cop observat un número de sèrie, ja no és a la piscina i no es tornarà a observar.
Això té una variància
de manera que la desviació estàndard és aproximadament N / k, la mida esperada de la bretxa entre les observacions ordenades de la mostra.
La fórmula es pot entendre intuïtivament com el màxim mostral més la diferència mitjana entre les observacions de la mostra, escollint el màxim mostral com a estimador inicial, ja que és l'estimador de màxima versemblança, i afegint la diferència per compensar el biaix negatiu del màxim mostral com a estimador del màxim de la població, i escrit com
Això es pot visualitzar imaginant que les observacions de la mostra estan espaiades uniformement al llarg del rang, amb observacions addicionals just fora del rang a 0 i N. + 1. Si es comença amb una diferència inicial entre 0 i l'observació més baixa de la mostra (el mínim de la mostra), la diferència mitjana entre observacions consecutives de la mostra és , el és degut al fet que les observacions en si no es compten en el càlcul de la bretxa entre observacions. Una derivació del valor esperat i la variància del màxim de la mostra es mostren a la pàgina de la distribució uniforme discreta.
Aquesta filosofia es formalitza i es generalitza en el mètode d'estimació de l'espaiat màxim; s'utilitza una heurística similar per representar la posició en un gràfic Q-Q, representant els punts de mostra a , que es troba uniformement en la distribució uniforme, amb un buit al final.
Intervals de confiança