El teorema de Pickands-Balkema-de Haan dóna la distribució asimptòtica de la cua d'una variable aleatòria quan la seva distribució real és desconeguda. Sovint s'anomena el segon teorema en la teoria de valors extrems. A diferència del primer teorema (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko), que fa referència al màxim d'una mostra, el teorema de Pickands-Balkema-de Haan descriu els valors per sobre d'un llindar.

El teorema deu el seu nom als matemàtics James Pickands, Guus Balkema i Laurens de Haan.

Funció de distribució d'excés condicional Per a una funció de distribució desconeguda d'una variable aleatòria , el teorema de Pickands-Balkema-de Haan descriu la funció de distribució condicional de la variable per sobre d'un cert llindar Aquesta és l'anomenada funció de distribució d'excés condicional, definida com

per on és l'extrem dret finit o infinit de la distribució subjacent La funció modificada descriu la distribució de l'excés de valor per sobre d'un llindar atès que s'ha superat el llindar.

Declaració Deixa sigui la funció de distribució d'excés condicional. Pickands, Balkema i de Haan van plantejar que per a una gran classe de funcions de distribució subjacents , i gran , s'aproxima bé mitjançant la distribució de Pareto generalitzada, en el sentit següent. Suposem que existeixen funcions , amb de tal manera que com convergeixen a una distribució no degenerada, aleshores aquest límit és igual a la distribució de Pareto generalitzada:

,

on

, if , if

Aquí σ > 0, i y ≥ 0 quan k ≥ 0 i 0 ≤ i ≤ − σ / k quan k < 0. Aquests casos especials també es coneixen com a

Distribució exponencial amb mitjana , si k = 0, Distribució uniforme en , si k = -1, Distribució de Pareto, si k > 0.

La classe de funcions de distribució subjacents estan relacionats amb la classe de les funcions de distribució satisfent el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko.

Com que un cas especial de la distribució de Pareto generalitzada és una llei de potències, el teorema de Pickands-Balkema-de Haan s'utilitza de vegades per justificar l'ús d'una llei de potències per modelar esdeveniments extrems.

El teorema s'ha ampliat per incloure una gamma més àmplia de distribucions. Tot i que les versions ampliades cobreixen, per exemple, les distribucions normal i log-normal, encara existeixen distribucions contínues que no estan cobertes.

Referències

Categoria:Probabilitat Pickands–Balkema–De Haan