miniatura| Definició gràfica del sinus i el cosinus del rumb emprats per Ferrer de Blanes El regiment de llegües era un mètode de càlcul nàutic que va substituir la Tauleta de marteloio introduint la navegació astronòmica per latituds, basada en el sistema descrit per Ferrer de Blanes per al càlcul de l'Δ-longitud entre dos punts i de la distància navegada, a partir de l'Δ-latitud mesurat mitjançant l'altura del sol o de la polar respecte a l'equinoccial. La primera referència coneguda, van ser les instruccions de Ferrer de Blanes per traçar el meridià de Tordesillas,Butlletí del Centre Excursionista de Catalunya nº47, Desembre de 1898, pag. 287 mètode seguit el 1564 per Juan Pérez de Moya i més tard.per Rodrigo Çamorano, passant a ser la navegació per latituds, amb el nom de Regimient de llegües, el sistema més precís.per als càlculs de la navegació oceànica, fins al punt que als pilots que la practicaven se'ls anomenava pilots d'altures.
Història Pel que es té coneixement fins avui dia, el mètode de la tauleta de marteloio, també d'origen mediterrani, documentat a lAtlas d'Andrea Bianco (1436), va ser reemplaçat, al menys al 1493, pel regiment de llegües, documentat per primera vegada a la carta de Jaume Ferrer de Blanes al Cardenal Mendoza trobada adjunta dins del llibre de poemes dedicats a Dante Alighieri "Sentències catòliques del diví poeta Dant".Gallica. Sentencias catholicas del divi poeta Dant florenti. Aquest mètode va substituir les línies de derrota del mrteloio, traçades mitjançant el rumb i l'estima del pilot, pel punt d'esquadria, aplicant identitats pitagòriques a un triangle rectangle, que permet calcular la distància navegada (hipotenusa) i l'Δ-longitud (catet adjacent a l'angle del rumb respecte a l'equador), a partir de dues dades d'entrada: el rumb magnètic respecte a l'equador i l'Δ-latitud entre dos punts (catet oposat a l'angle del rumb respecte a l'equador). És un fet curiós com el mètode del càlcul astronòmic de l'Δ-longitud i el càlcul de la distància navegada, van poder romandre ocults durant segles dins d'un llibre de teologia.
Triangle rectangle de Ferrer de Blanes Segons afirma Jaume Ferrer de Blanes (lapidario de Burgos, a Castella), el mètode del triangle rectangle emprat per determinar tant l'Δ-longitud com la "distància navegada", era conegut i dominat pel navegant Cristòfol Colom, quan el documenta per primera vegada en la carta enviada al Cardenal Mendoza el 1493. Com abans s'ha dit, aquest sistema en va substituir un de més antic, també d'origen mediterrani: la tauleta de marteloio, simplement canviant, amb aquest sistema que ell proposa, les línies de derrota traçades per rumb, estima i ampolleta del Marteloio, pel punt d'esquadria calculat a partir de l'increment de latitud i del rumb respecte a l'equador. El sistema batejat com a "Regiment de llegües" segons Luís de Albuquerque en el pròleg de les taules d'Abraham Zacuth (1490),Zacuto, A. Almanach Perpetuum. Lisboa, 1496. també per Juan Pérez de Moya en el seu *Arte de Marear* (1564) i finalment com a punt d'esquadria per Rodrigo Zamorano (1585), va augmentar infinitament la precisió de l'estima clàssica, ja que en basar-se en mesures astronòmiques és independent dels corrents i de l'abatiment. Aquests estudis deixen palesa la transició cap a la navegació per latituds mitjançant trigonometria plana, o càlcul del punt d'esquadría, que ja era conegut i emprat dins l'entorn colombí a finals del segle XV.
A la carta al cardenal Mendoza de 1493 Ferrer de Blanes diu molt clarament: "No es pot calcular la distància recorreguda navegant en un rumb paral·lel a l'equinoccial", per tant implica que els navehants oceànics, entre ells Colom, per saber la distància navegada havien de fer servir rumbs oblics a l'equador. Al final de la carta afegeix. "Si teniu algun dubte [sobre aquest sistema] pregunteu-li a l'Almirall que en sap molt més que jo", la qual cosa implica que Colom coneixia perfectament el mètode del càlcul de l'Δ-longitud i de la distància navegada per triangles rectangles, i seria poc savi no emprar-lo.
Càlcul de la diferència de longitud La carta de 1493 trobada adjunta dins del llibre de poemes dedicats a Dante Alighieri Sentències catòliques del diví poeta Dant,Gallica. Sentencias catholicas del divi poeta Dant florenti. va permetre conservar ocult durant anys, dins d'un llibre de teologia, el secret del càlcul astronòmic de la "diferència de longitud entre dos punts" (catet adjacent a l'angle del rumb respecte a l'equador) i de la "distància navegada" (hipotenusa), a partir de l'increment de latitud (catet oposat a l'angle del rumb), contra el que afirma Dava Sobel en el seu llibre *Longitude*, en el qual manté una mitja veritat dient que , abans del rellotge de Harrison no es podia determinar la diferència de longitud entre dos punts. El que hauria de dir és que , tot i que les taules de distàncies lunars de Mendoça si que ho permetien, abans de tenir un rellotge amb l'hora de Greenwich no era pràctic determinar la diferència de longitud respecte dit observatori. De fet, el càlcul de la diferència de longitud de 370 llegües (25,69494º) a l'oest de Cap Verd (Fogo, 24,3945° W) marcada per Ferrer de Blanes, que coincideix amb la desembocadura de l'Amazones (50,08944° W), ha perdurat en tots els mapes fins als nostres dies (vegeu el mapa adjunt del temps de Felip V).
A la carta abans esmentada explica tres formes per trobar el meridià d’Alexandre VI “corregit”.Una d’elles diu:: La nau que partirà de les illes del Cap Verd (Fogo), per buscar el dit terme, cal que dexe el paral·lel o línia occidental a mà esquerra, i que prengui el seu camí per la quarta de ponent, la bolta del maestral, i que navegui tant per l'esmentada quarta fins el polus mundi se li elevi XVIII i un terç , i, llavors, la dita nau serà just a la línia susdita, que passa, de pol a pol, per la fi de les CCCLXX llegües. Fórmula Fórmula aplicada per calcular la diferència de longitud entre el Cap verd i la desembocadura de l'Amazones segons el triangle rectangle de Ferrer de Blanes
Càlcul de la distància navegada Sistema de Ferrer de Blanes recolzat pel llibre d'Abraham Zacuth. Més tard al s.XVI el procés es va anomenar Regiment de llegües.
Es mesurava l'apartament del sol respecte a l'equinoccial o l'altura de la polar amb el quadrant o la balestilla Amb taules de declinacions es calculava la latitud (amb l'alçada de la polar no calia n'era el valor directe) Es consultava la taula precalculada amb 7 entrades deAmb el compàs de puntes, es copiava aquesta distància navegada del tronc de llegües i, es marcava la nova posició sobre la carta. cada quarta de rumb respecte l'equador, feta per 1 grau d'increment de latitud entre punts, i s'anotaven les llegües del resultat Amb el compàs de puntes, es copiava aquesta distància navegada del tronc de llegües i es marcava la nova posició sobre la carta.
Fórmula Fórmula aplicada per generar les taules precalculades del Punt d'esquadria o del Regiment de llegües seguint el mètode de Ferrer de Blanes
Taula resultant Simetria geomètrica del Regiment de llegües (reducció a només 7 quartes)
No és necessari elaborar una taula amb les 32 quartes de la rosa dels vents completa, ja que el càlcul nàutic es redueix a la resolució de triangles rectangles en el pla cartesians (on els dos angles aguts sumen sempre 90º).
Per la pròpia naturalesa trigonomètrica i la simetria dels quatre quadrants marítims (NE, SE, SO, NO):
Simetria especular (Dalt/Baix i Dreta/Esquerra): Els valors absoluts de les distàncies i dels increments de latitud i longitud són exactament idèntics per a rumbs simètrics respecte als eixos principal Nord-Sud (meridià) i Est-Oest (equador). Per exemple, navegar 11,25º cap al N-NE produeix exactament el mateix triangle rectangle que fer-ho cap al N-NO, S-SE o S-SO. Inversió dels catets: Els rumbs d'un quadrant respecte al meridià són els complementaris respecte a l'equador (A i 90º - A), cosa que fa que els valors simplement s'intercanviïn de paper segons l'eix de referència.
Per tant, amb només les 7 quartes d'un sol quadrant (excloent el rumb pur sobre l'eix) es poden resoldre els càlculs per a qualsevol dels 32 vents de la rosa, canviant únicament el signe o la direcció cardinal del desplaçament. + Precàlcul fonamental per identitats pitagòriques (per 1º d'Δ-latitud) Quarta (Rumb) Angle respecte a l'equador Distància navegada en graus (D) Distància en llegües (18¾/ llegua) Δ-Longitud en graus (L) 1a quarta 11,25° (11° 15') 5,1258 96,11 5,0273 2a quarta 22,50° (22° 30') 2,6131 48,99 2,4142 3a quarta 33,75° (33° 45') 1,8000 33,75 1,4966 4a quarta (Mestral) 45,00° (45° 00') 1,4142 26,52 1,0000 5a quarta 56,25° (56° 15') 1,2027 22,55 0,6682 6a quarta 67,50° (67° 30') 1,0824 20,30 0,4142 7a quarta 78,75° (78° 45') 1,0196 19,12 0,1989 8a quarta (Oest/Est) 90,00° (90° 00') Infinit (Paral·lel) Infinit Sense canvi de latitud Tres detalls clau d'aquesta taula Cas triangle isòsceles (quarta del Mestral): Amb el rumb a 45º, el valor de l'Δ-longitud en graus és el mateix que l'Δ-latitud. És a dir, per cada grau que hom desplaça sobre l'eix sud/nord, s'avança exactament un grau sobre l'eix est/oest. Això explica perquè Ferrer de Blanes va triar la derrota del Mestral per traçar la línia de Tordesillas: El càlcul era net i perfecte per una resolució amb les taules trigonomètriques de l'època (Regiomontanus/Zacuth). Multiplicadors directes: El pilot només havia de prendre el valor astronòmic observat de l'Δ-latitud en graus i multiplicar-lo per la constant de la columna "D" per obtenir la distància real navegada en llegües sense fer càlculs complexos a la bitàcola. Punt d'esquadria: Aquesta taula demostra perquè el punt d'esquadria va substituir el Marteloio per raó de la facilitat amb que transforma una observació astronòmica independent => l'Δ-latitud, "segons el rumb en que s'ha navegat", en els dos costats restants del triangle rectangle: la distància navegada (hipotenusa) i l'Δ-longitud (catet adjacent).
Computador analògic primitiu miniatura|center|600px|Solució analògica del teorema de Pitàgoras S'ha qüestionat el fet de si Cristòfor Colom disposava de taules trigonomètriques per poder calcular sinus i cosinus. Tot i que era possible utilitzar taules precalculades emprant les taules de cordes d’Alfargani o les de Regiomontanus de 1490 —com es troba documentat en el Regimiento de llegües de Pérez de Moya de 1564—, tanmateix, existeix un fet palès des del segle XIII amb l’ús de la Vara de Jacob de Levi ben Gerson (Gersonides): la seva utilització com a autèntic computador analògic del cosinus. En ajustar visualment els travessers, les línies virtuals cap a l’extrem de la vara formen un angle, i la posició del travesser sobre la escala de la vara indica directament el cosinus d'aquest angle. És a dir, l'instrument mateix executa el càlcul del cosinus de manera mecànica i immediata.
Ens trobem davant d’un problema semblant a la “Disputa entre abacistes i algoristes”, però per a determinar el valor de la "distància navegada" (hipotenusa) o de l'Δ-longitud (catet adjacent), Colom no necessitava taules, ja que podia emprar dibuixos en pergamí de triangles rectangles graduats amb angles fixes (els de 11,25°, 22,5° o 45° i els seus complementaris), un mètode equivalent al que es practica avui dia a Secundària i al Batxillerat, on els costats estarien marcats amb unitats (graus) mitjançant divisions iguals. Només calia agafar sobre el catet vertical, el número de divisions de l'Δ-latitud observat i traçant una paralel·la a l'altre catet, la intersecció amb la hipotenusa donava la distància navegada en graus.