En matemàtiques i física, una equació diferencial parcial no lineal és una equació diferencial parcial amb termes no lineals. Descriuen molts sistemes físics diferents, des de la gravitació fins a la dinàmica de fluids, i s'han utilitzat en matemàtiques per resoldre problemes com la conjectura de Poincaré i la conjectura de Calabi. Són difícils d'estudiar: gairebé no existeixen tècniques generals que funcionin per a totes aquestes equacions, i normalment cada equació individual s'ha d'estudiar com un problema separat.
La distinció entre una equació diferencial parcial lineal i una no lineal se sol fer en termes de les propietats de l'operador que defineix la mateixa EDP.
Mètodes per estudiar equacions diferencials parcials no lineals Existència i singularitat de les solucions Una qüestió fonamental per a qualsevol EDP és l'existència i la unicitat d'una solució per a unes condicions de contorn donades. Per a equacions no lineals, aquestes preguntes són en general molt difícils: per exemple, la part més difícil de la solució de Yau a la conjectura de Calabi va ser la demostració de l'existència d'una equació de Monge-Ampere. El problema obert de l'existència (i la suavitat) de solucions a les equacions de Navier-Stokes és un dels set problemes del Premi del Mil·lenni en matemàtiques.
Singularitats Les preguntes bàsiques sobre les singularitats (la seva formació, propagació i eliminació, i regularitat de les solucions) són les mateixes que per a l'EDP lineal, però com de costum, molt més difícils d'estudiar. En el cas lineal, només es poden utilitzar espais de distribucions, però les EDP no lineals no solen definir-se en distribucions arbitràries, de manera que es substitueixen els espais de distribucions per refinaments com ara els espais de Sobolev.
Un exemple de formació de singularitats el dóna el flux de Ricci: Richard S. Hamilton va demostrar que, si bé existeixen solucions de temps curt, les singularitats normalment es formen després d'un temps finit. La solució de Grigori Perelman a la conjectura de Poincaré depenia d'un estudi profund d'aquestes singularitats, on va mostrar com continuar la solució més enllà de les singularitats.
Aproximació lineal Les solucions en un veïnatge d'una solució coneguda de vegades es poden estudiar linealitzant l'EDP al voltant de la solució. Això correspon a estudiar l'espai tangent d'un punt de l'espai de mòduls de totes les solucions.
Espai de mòduls de solucions Idealment, hom voldria descriure explícitament l'espai (de mòduls) de totes les solucions, i per a algunes EDP molt especials això és possible. (En general, aquest és un problema sense esperança: és poc probable que hi hagi cap descripció útil de totes les solucions de l'equació de Navier-Stokes, per exemple, ja que això implicaria descriure tots els possibles moviments de fluids.) Si l'equació té un grup de simetria molt gran, normalment només s'interessa en l'espai de mòduls de solucions mòdul el grup de simetria, i de vegades es tracta d'una varietat compacta de dimensió finita, possiblement amb singularitats; per exemple, això passa en el cas de les equacions de Seiberg-Witten. Un cas una mica més complicat són les equacions autoduals de Yang-Mills, quan l'espai de mòduls és de dimensió finita però no necessàriament compacte, tot i que sovint es pot compactar explícitament. Un altre cas en què de vegades es pot esperar descriure totes les solucions és el cas dels models completament integrables, on les solucions de vegades són una mena de superposició de solitons; això passa, per exemple, per a l'equació de Korteweg-de Vries.
Solucions exactes Sovint és possible escriure algunes solucions especials explícitament en termes de funcions elementals (encara que rarament és possible descriure totes les solucions d'aquesta manera). Una manera de trobar aquestes solucions explícites és reduir les equacions a equacions de menor dimensió, preferiblement equacions diferencials ordinàries, que sovint es poden resoldre amb exactitud. Això de vegades es pot fer mitjançant la separació de variables o buscant solucions altament simètriques.
Algunes equacions tenen diverses solucions exactes diferents.
Solucions numèriques La solució numèrica en un ordinador és sovint l'únic mètode que es pot utilitzar per obtenir informació sobre sistemes arbitraris d'EDP. S'ha fet molta feina, però encara queda molta feina per fer en la resolució numèrica de certs sistemes, especialment per a la Navier-Stokes i altres equacions relacionades amb la predicció meteorològica.
Parell Lax Si un sistema d'EDP es pot posar en forma de parells de Lax
aleshores sol tenir un nombre infinit de primeres integrals, que ajuden a estudiar-la.
Equacions d'Euler-Lagrange Els sistemes d'EDP sovint sorgeixen com les equacions d'Euler-Lagrange per a un problema variacional. Els sistemes d'aquesta forma de vegades es poden resoldre trobant un extrem del problema variacional original.
Equacions de Hamilton Les equacions de Hamilton són un conjunt d'equacions diferencials de primer ordre en mecànica clàssica. Descriuen com canvien amb el temps la posició i el moment d'un sistema físic, utilitzant una funció anomenada hamiltonià (H) (que sovint representa l'energia total).
Sistemes integrables Les EDP que sorgeixen de sistemes integrables solen ser les més fàcils d'estudiar i, de vegades, es poden resoldre completament. Un exemple ben conegut és l'equació de Korteweg-de Vries.
Simetria Alguns sistemes d'EDP tenen grups de simetria grans. Per exemple, les equacions de Yang-Mills són invariants sota un grup de gauge de dimensió infinita, i molts sistemes d'equacions (com ara les equacions de camp d'Einstein) són invariants sota difeomorfismes de la varietat subjacent. Qualsevol d'aquests grups de simetria es pot utilitzar normalment per ajudar a estudiar les equacions; en particular, si es coneix una solució, es poden generar trivialment més actuant amb el grup de simetria.
De vegades, les equacions són parabòliques o hiperbòliques "mòdul l'acció d'algun grup": per exemple, l'equació de flux de Ricci no és del tot parabòlica, però és "parabòlica mòdul l'acció del grup de difeomorfisme", la qual cosa implica que té la majoria de les bones propietats de les equacions parabòliques.
Llista d'equacions Vegeu la llista extensa d'equacions diferencials parcials no lineals.
Referències
Categoria:Equacions diferencials