Un principi variacional és un procediment matemàtic que fa que un problema físic es pugui resoldre mitjançant el càlcul de variacions, que consisteix a trobar funcions que optimitzin els valors de les quantitats que depenen d'aquestes funcions. Per exemple, el problema de determinar la forma d'una cadena suspesa pels dos extrems —una catenària— es pot resoldre mitjançant càlcul variacional, i en aquest cas, el principi variacional és el següent: la solució és una funció que minimitza l'energia potencial gravitatòria de la cadena.
Història Física El concepte de principi variacional va sorgir de treballs anteriors com el principi de Fermat per a l'òptica el 1662. La primera aplicació de la tècnica variacional, tot i que com un cas especial més que no pas com un principi general, va ser la solució de James Bernoulli al problema de la braquistòcrona el 1718. Pierre Louis Maupertuis va generalitzar el concepte de Fermat a la mecànica, en forma de principi de mínima acció . Aquests principis estaven vinculats a un principi més general de mínima acció (l'analogia òpticomecànica de Hamilton) de William Rowan Hamilton el 1831, que demostrava que el moviment de les partícules de matèria i el moviment de les ones de llum es podien descriure de la mateixa manera. El treball de Hamilton va ser una influència important en la investigació de principis del segle XX sobre la dualitat ona-partícula, que va culminar amb el descobriment de l'equació de Schrödinger el 1926.
Matemàtiques El programa d'Erlangen de Felix Klein de 1872 va intentar identificar invariants sota un grup de transformacions.
Exemples En matemàtiques El principi variacional d'Ekeland en l'optimització matemàtica El mètode dels elements finits El principi de variació que relaciona l'entropia topològica i l'entropia de Kolmogorov-Sinai.
En física miniatura|Els principis variacionals de la mecànica clàssica es van desenvolupar en paral·lel amb la mecànica newtoniana.
El mètode de Rayleigh-Ritz per resoldre problemes de valor límit en elasticitat i propagació d'ones El principi de Fermat en òptica geomètrica El principi de Hamilton en mecànica clàssica El principi de Maupertuis en la mecànica clàssica El principi de mínima acció en mecànica, teoria electromagnètica i mecànica quàntica El mètode variacional en mecànica quàntica Teorema de Hellmann-Feynman Principi de mínima restricció de Gauss i principi de mínima curvatura de Hertz El principi d'acció de Hilbert en la relativitat general, que condueix a les equacions de camp d'Einstein. Variació Palatini Mètode Hartree-Fock Teoria funcional de la densitat Terme límit de Gibbons–Hawking–York Solucionador propi quàntic variacional
Referències
Categoria:Física Categoria:Càlcul