En física, la desigualtat de Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH) es pot utilitzar en la demostració del teorema de Bell, que estableix que certes conseqüències de l'entrellaçament en mecànica quàntica no es poden reproduir mitjançant teories locals de variables ocultes. La verificació experimental de la desigualtat que s'està violant es veu com la confirmació que la natura no es pot descriure amb aquestes teories. CHSH significa John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony i Richard Holt, que el van descriure en un article molt citat publicat el 1969. Van derivar la desigualtat CHSH, que, com passa amb la desigualtat original de John Stewart Bell,, reproduced as Ch. 2 of és una restricció —sobre l'ocurrència estadística de "coincidències" en una prova de Bell— que és necessàriament certa si existeix una teoria subjacent de variables ocultes locals. A la pràctica, la desigualtat es viola rutinàriament en els experiments moderns de mecànica quàntica.
Declaració La forma habitual de la desigualtat CHSH és (1)
on
i la configuració del detector és al costat , i al costat , les quatre combinacions es proven en subexperiments separats. Els termes etc. són les correlacions quàntiques dels parells de partícules, on la correlació quàntica es defineix com el valor esperat del producte dels "resultats" de l'experiment, és a dir, la mitjana estadística de , on són els resultats separats, utilitzant la codificació +1 per al canal '+' i − per al canal ' − '. La derivació de Clauser et al. de 1969 estava orientada cap a l'ús de detectors de "dos canals", i de fet és per a aquests que s'utilitza generalment, però amb el seu mètode els únics resultats possibles eren +1 i −. Per adaptar-se a situacions reals, que en aquell moment significaven l'ús de llum polaritzada i polaritzadors d'un sol canal, van haver d'interpretar ' − ' com a "no detecció al canal '+'", és a dir, o bé ' − ' o bé res. A l'article original no van discutir com es podia aplicar la desigualtat de dos canals en experiments reals amb detectors imperfectes reals, tot i que més tard es va demostrarJ. S. Bell, in Foundations of Quantum Mechanics, Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi", Course XLIX, B. d'Espagnat (ed.) (Academic, New York, 1971), p. 171 and Appendix B. Pages 171-81 are reproduced as Ch. 4 of J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge University Press 1987) que la desigualtat en si mateixa era igualment vàlida. Tanmateix, l'ocurrència de resultats zero significa que ja no és tan obvi com s'han d'estimar els valors d' E a partir de les dades experimentals.
El formalisme matemàtic de la mecànica quàntica prediu que el valor de supera 2 per a sistemes preparats en estats entrellaçats adequats i l'elecció adequada dels paràmetres de mesura (vegeu més avall). La violació màxima prevista per la mecànica quàntica és ( Límit de Tsirelson) i es pot obtenir a partir d'un estat de Bell entrellaçat màxim.
Experiments Moltes proves de Bell realitzades després del segon experiment d'Alain Aspect el 1982 han utilitzat la desigualtat CHSH, estimant els termes mitjançant (3) i assumint un mostreig just. S'han reportat algunes violacions dramàtiques de la desigualtat. miniatura|300x300px|Esquema d'una prova de Bell de "dos canals"La font S produeix parells de fotons, enviats en direccions oposades. Cada fotó es troba amb un polaritzador de dos canals ( a i b ) l'orientació del qual pot ser fixada per l'experimentador. Els senyals emergents de cada canal són detectats i el monitor de coincidències CM compta les coincidències. A la pràctica, la majoria d'experiments reals han utilitzat llum en lloc dels electrons que Bell tenia originalment en ment. La propietat d'interès és, en els experiments més coneguts, la direcció de polarització, tot i que es poden utilitzar altres propietats. El diagrama mostra un experiment òptic típic. Es registren les coincidències (deteccions simultànies), els resultats es classifiquen com a '++', '+ − ', ' − +' o ' − − ' i s'acumulen els recomptes corresponents.
Es duen a terme quatre subexperiments separats, corresponents als quatre termes en l'estadística de prova S ( , anterior). A la pràctica, generalment s'escullen els ajustos , , i que són els "angles de prova de campana", i són aquells per als quals la fórmula de la mecànica quàntica dóna la major violació de la desigualtat.
Per a cada valor seleccionat de , el nombre de coincidències en cada categoria es registren. L'estimació experimental per a es calcula llavors com:
Un cop estimades totes les , es pot trobar una estimació experimental de S (Eq. ). Si és numèricament més gran que 2, ha infringit la desigualtat CHSH i es declara que l'experiment ha donat suport a la predicció de la mecànica quàntica i ha descartat totes les teories locals de variables ocultes.
L'article de CHSH enumera moltes condicions prèvies (o "supòsits raonables i/o presumibles") per derivar el teorema i la fórmula simplificats. Per exemple, perquè el mètode sigui vàlid, s'ha de suposar que els parells detectats són una mostra justa dels emesos. En experiments reals, els detectors mai són 100% eficients, de manera que només es detecta una mostra dels parells emesos. Un requisit subtil i relacionat és que les variables ocultes no influeixin ni determinin la probabilitat de detecció de manera que condueixi a mostres diferents a cada braç de l'experiment.
La desigualtat CHSH s'ha violat amb parells de fotons, parells d'ions de beril·li, parells d'ions d'itterbi, parells d'àtoms de rubidi, parells de núvols d'àtoms de rubidi sencers, vacants de nitrogen en diamants i qubits de fase Josephson.
Derivació La derivació original de 1969 no es donarà aquí, ja que no és fàcil de seguir i implica la suposició que els resultats són tots +1 o −, mai zero. La derivació de Bell de 1971 és més general. De fet, assumeix la "Teoria Local Objectiva" que més tard utilitzaran Clauser i Horne. Se suposa que qualsevol variable oculta associada amb els detectors és independent en ambdós costats i es pot calcular la mitjana des del principi. Una altra derivació d'interès es dóna a l'article de Clauser i Horne de 1974, en què parteixen de la desigualtat CH74.
Derivació de Bell de 1971 El següent es basa en la pàgina 37 de *Speakable and Unspeakable* de Bell,J. S. Bell, in Foundations of Quantum Mechanics, Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi", Course XLIX, B. d'Espagnat (ed.) (Academic, New York, 1971), p. 171 and Appendix B. Pages 171-81 are reproduced as Ch. 4 of J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge University Press 1987) el canvi principal és utilitzar el símbol ' E ' en lloc de ' P ' per al valor esperat de la correlació quàntica. Això evita qualsevol suggeriment que la correlació quàntica sigui en si mateixa una probabilitat.
Comencem amb la suposició estàndard d'independència dels dos costats, la qual cosa ens permet obtenir les probabilitats conjuntes de parells de resultats multiplicant les probabilitats separades, per a qualsevol valor seleccionat de la "variable oculta" λ. Se suposa que λ s'extreu d'una distribució fixa dels estats possibles de la font, la probabilitat que la font estigui en l'estat λ per a qualsevol prova particular ve donada per la funció de densitat ρ(λ), la integral de la qual sobre l'espai complet de variables ocultes és 1. Així doncs, suposem que podem escriure: on i són els resultats. Com que els valors possibles d' A i B són − 1, 0 i +1, es dedueix que:
(4)
Aleshores, si a, a ′, b i b ′ són configuracions alternatives per als detectors,
Prenent els valors absoluts d'ambdós costats i aplicant la desigualtat triangular al costat dret, obtenim
Fem servir el fet que i són tots dos no negatius per reescriure el costat dret d'això com a Per (), això ha de ser menor o igual a
que, utilitzant el fet que la integral de és 1, és igual a
que és igual a .
Combinant això amb el costat esquerre, tenim: cosa que significa que el costat esquerre és menor o igual que tots dos i . Això és: dels quals obtenim (de nou per la desigualtat triangular), que és la desigualtat CHSH.
Derivació de la desigualtat de Clauser i Horne de 1974 En el seu article de 1974, Clauser i Horne mostren que la desigualtat CHSH es pot derivar de la desigualtat CH74. Tal com ens diuen, en un experiment de dos canals, la prova d'un sol canal CH74 encara és aplicable i proporciona quatre conjunts de desigualtats que governen les probabilitats p de coincidències.
Treballant a partir de la versió no homogènia de la desigualtat, podem escriure: on j i k són cadascun '+' o ' − ', cosa que indica quins detectors s'estan considerant.
Per obtenir l'estadística de prova CHSH S (), només cal multiplicar les desigualtats per a les quals j és diferent de k per − i sumar-les a les desigualtats per a les quals j i k són iguals.
Violació òptima per un estat quàntic general En la pràctica experimental, les dues partícules no formen un parell EPR ideal. Hi ha una condició necessària i suficient per a una matriu de densitat de dos qubits violar la desigualtat CHSH, expressada pel polinomi màxim assolible Smax definit a Això és important en la distribució de claus quàntiques basada en l'entrellaçament, on la taxa de clau secreta depèn del grau de correlacions de mesura.
Introduïm una matriu real 3×3 amb elements , on són les matrius de Pauli. Aleshores trobem els valors propis i els vectors propis de la matriu simètrica real , on els índexs estan ordenats per . Aleshores, el polinomi CHSH màxim està determinat pels dos valors propis més grans,
Bases de mesura òptimes Existeix una configuració òptima de les bases de mesura a, a', b, b per a un valor donat que produeix S max amb almenys un paràmetre lliure.
La mesura projectiva que dóna +1 o −1 per a dos estats ortogonals respectivament, es poden expressar mitjançant un operador . L'elecció d'aquesta base de mesura es pot parametritzar mitjançant un vector unitari real i el vector de Pauli expressant . Aleshores, la correlació esperada en les bases a i b és Els valors numèrics dels vectors base, quan es troben, es poden traduir directament a la configuració de les mesures projectives.
El conjunt òptim de bases per a l'estat es troba prenent els dos valors propis més grans i els vectors propis corresponents de , i trobant els vectors unitaris auxiliars on és un paràmetre lliure. També calculem l'angle agut per obtenir les bases que maximitzen , En la distribució de claus quàntiques basada en l'entrellaçament, hi ha una altra base de mesura utilitzada per comunicar la clau secreta ( suposant que l'Alícia utilitza el costat A). Les bases llavors cal minimitzar la taxa d'error de bit quàntic Q, que és la probabilitat d'obtenir resultats de mesura diferents (+1 en una partícula i −1 en l'altra). Les bases corresponents són El polinomi CHSH S també s'ha de maximitzar, cosa que juntament amb les bases anteriors crea la restricció
Joc CHSH El joc CHSH''' és un experiment mental que implica dues parts separades a una gran distància (prou lluny per impedir la comunicació clàssica a la velocitat de la llum), cadascuna de les quals té accés a la meitat d'un parell entrellaçat de dos qubits. L'anàlisi d'aquest joc mostra que cap teoria clàssica de variables ocultes locals pot explicar les correlacions que poden resultar de l'entrellaçament. Com que aquest joc és físicament realitzable, això dóna una forta evidència que la física clàssica és fonamentalment incapaç d'explicar certs fenòmens quàntics, almenys de manera "local".