El concepte d'espai de Wiener abstracte és una construcció matemàtica desenvolupada per Leonard Gross per entendre l'estructura de les mesures gaussianes en espais de dimensió infinita. La construcció emfatitza el paper fonamental que juga l'espai de Cameron-Martin. L'espai clàssic de Wiener n'és l'exemple prototípic.
El teorema d'estructura per a mesures gaussianes estableix que totes les mesures gaussianes es poden representar mitjançant la construcció abstracta de l'espai de Wiener.
Motivació Sigui un espai de Hilbert real, assumit de dimensió infinita i separable. A la literatura de física, es troben sovint integrals de la forma
on se suposa que és una constant de normalització i on se suposa que és la mesura de Lebesgue inexistent en . Aquestes integrals sorgeixen, notablement, en el context de la formulació euclidiana de la integral de camí de la teoria quàntica de camps. A nivell matemàtic, aquesta integral no es pot interpretar com una integració contra una mesura de l'espai original de Hilbert. . D'altra banda, suposem és un espai de Banach que conté com un subespai dens. Si és "prou més gran" que , aleshores la integral anterior es pot interpretar com a integració contra una mesura ben definida (gaussiana) en . En aquest cas, la parella es coneix com un espai de Wiener abstracte.
L'exemple prototípic és l'espai clàssic de Wiener, en què és l'espai de Hilbert de les funcions amb valors reals en un interval tenint primera derivada en i satisfactori , amb la norma donada per
En aquest cas, es pot considerar l'espai de Banach de funcions contínues en amb la norma suprema. En aquest cas, la mesura sobre és la mesura de Wiener que descriu el moviment brownià a partir de l'origen. El subespai original s'anomena espai de Cameron-Martin, que forma un conjunt de mesura zero respecte a la mesura de Wiener.
El que significa l'exemple anterior és que tenim una expressió formal per a la mesura de Wiener donada per Tot i que aquesta expressió formal suggereix que la mesura de Wiener hauria de residir en l'espai de camins per als quals , això no és realment el cas, ja que se sap que els camins brownians de mostra gairebé amb seguretat no es poden diferenciar enlloc, tot i que es pot generalitzar a mesures aleatòries com a distribucions temperades a través de la funció característica com a mesura de soroll blanc.
La construcció abstracta de l'espai de Wiener de Gross abstrau la situació de l'espai de Wiener clàssic i proporciona una condició necessària i suficient (encara que de vegades difícil de comprovar) perquè la mesura gaussiana existeixi en . Tot i que la mesura gaussiana viu en lloc de , és la geometria de en lloc de que controla les propietats de . Com ho expressa el mateix Gross p. 31 (adaptat a la nostra notació), "Tanmateix, només es va fer evident amb el treball d'IE Segal que tractava la distribució normal en un espai de Hilbert real, que el paper de l'espai de Hilbert era realment central, i que en la mesura que l'anàlisi sobre preocupa, el paper de en si mateix era auxiliar per a molts dels teoremes de Cameron i Martin, i en alguns casos fins i tot innecessari." Una de les característiques atractives de la construcció abstracta de l'espai de Wiener de Gross és que pren com a punt de partida i tracta com a objecte auxiliar.
Tot i que les expressions formals per a que apareixen anteriorment en aquesta secció són expressions purament formals, d'estil físic, però són molt útils per ajudar a comprendre les propietats de . Cal destacar que es poden utilitzar fàcilment aquestes expressions per derivar la fórmula (correcta!) per a la densitat de la mesura traduïda en relació amb , per . (Vegeu el teorema de Cameron-Martin.)
Descripció matemàtica Mesura del conjunt de cilindres en Sigui sigui un espai de Hilbert definit sobre els nombres reals, assumit de dimensió infinita i separable. Un cilindre muntat és un conjunt definit en termes dels valors d'una col·lecció finita de funcionals lineals sobre . Concretament, suposem són funcionals lineals continus en i és un conjunt de Borel en . Aleshores podem considerar el conjunt Qualsevol conjunt d'aquest tipus s'anomena conjunt de cilindres. La col·lecció de tots els conjunts de cilindres forma una àlgebra de conjunts en anomenada àlgebra cilíndrica. Tingueu en compte que aquesta àlgebra no és una -àlgebra.
Hi ha una manera natural de definir una "mesura" en conjunts de cilindres, de la següent manera. Pel teorema de representació de Riesz, els funcionals lineals es donen com el producte intern amb vectors en . A la llum del procediment de Gram-Schmidt, és inofensiu suposar que són ortonormals. En aquest cas, podem associar-ho al conjunt de cilindres definit anteriorment la mesura de respecte a la mesura gaussiana estàndard de . És a dir, definim on és la mesura estàndard de Lebesgue en . A causa de l'estructura del producte de la mesura gaussiana estàndard en , no és difícil demostrar que està ben definit. És a dir, tot i que el mateix conjunt es pot representar com un cilindre conjuntat de més d'una manera, el valor de és sempre el mateix.
Inexistència de la mesura sobre El conjunt funcional s'anomena mesura estàndard del conjunt de cilindres gaussians en . Suposant (com fem nosaltres) que és de dimensió infinita, no s'estén a una mesura additiva comptable sobre el -àlgebra generada per la col·lecció de conjunts de cilindres en (és a dir, no s'estén a la σ-àlgebra cilíndrica generada per l'àlgebra del cilindre.) Es pot entendre la dificultat considerant el comportament de la mesura gaussiana estàndard en donat per El valor esperat de la norma quadràtica respecte a aquesta mesura es calcula com una integral gaussiana elemental com És a dir, la distància típica des de l'origen d'un vector escollit aleatòriament segons la mesura gaussiana estàndard de és Com tendeix a infinit, aquesta distància típica tendeix a infinit, cosa que indica que no hi ha una mesura "gaussiana estàndard" ben definida en . (La distància típica des de l'origen seria infinita, de manera que la mesura no residiria realment a l'espai .)
Existència de la mesura sobre Ara suposem que és un espai de Banach separable i que és una aplicació lineal contínua injectiva la imatge de la qual és densa en . Aleshores és inofensiu (i convenient) identificar amb la seva imatge a dins i per tant, consideració com un subconjunt dens de . Aleshores podem construir una mesura de conjunt de cilindres sobre definint la mesura d'un conjunt de cilindres com la mesura del conjunt de cilindres definida prèviament de , que és un cilindre muntat en .
La idea de la construcció abstracta de l'espai de Wiener és que si és prou més gran que , aleshores el conjunt de cilindres mesura en , a diferència de la mesura del conjunt de cilindres en , s'estendrà a una mesura additiva comptable sobre el generat -àlgebra. L'article original de Gross dóna una condició necessària i suficient per a perquè això sigui així. La mesura sobre s'anomena mesura gaussiana i el subespai s'anomena espai de Cameron-Martin. És important emfatitzar que forma un conjunt de mesura zero a l'interior , emfatitzant que la mesura gaussiana només perdura en i no en .
La conclusió de tota aquesta discussió és que les integrals gaussianes del tipus descrit a la secció de motivació tenen una interpretació matemàtica rigorosa, però no resideixen en l'espai la norma del qual es produeix en l'exponent de l'expressió formal. Més aviat, viuen en un espai més gran.
Universalitat de la construcció La construcció abstracta de l'espai de Wiener no és simplement un mètode per construir mesures gaussianes. Més aviat, cada mesura gaussiana en un espai de Banach de dimensió infinita es produeix d'aquesta manera. (Vegeu el teorema d'estructura per a mesures gaussianes.) És a dir, donada una mesura gaussiana en un espai de Banach separable i de dimensió infinita (sobre ), es pot identificar un subespai de Cameron-Martin , en aquest punt la parella esdevé un espai de Wiener abstracte i és la mesura gaussiana associada.
Propietats és una mesura de Borel: està definida sobre la σ-àlgebra de Borel generada pels subconjunts oberts de B. és una mesura gaussiana en el sentit que f∗() és una mesura gaussiana sobre R per a qualsevol funcional lineal f ∈ B∗, f ≠ 0. Per tant, és estrictament positiva i localment finita. El comportament de respecte a la translació ve descrit pel teorema de Cameron-Martin. Donats dos espais de Wiener abstractes i1 : H1 → B1 i i2 : H2 → B2, es pot demostrar que .En total: És a dir, la mesura de Wiener abstracta sobre el producte cartesià B1 × B2 és el producte de les mesures de Wiener abstractes sobre els dos factors B1 i B2. Si H (i B) són de dimensió infinita, aleshores la imatge de H té mesura zero. Aquest fet és una conseqüència de la llei zero-u de Kolmogorov. El mapa d'inclusió és un exemple d'aplicació -radonifying map, ja que la mesura transportada és una mesura de Radon. Originalment, Gross va formular una condició necessària i suficient per a la -radonification en termes de les seminormes mesurables.
Exemple: Espai clàssic de Wiener L'exemple prototípic d'un espai de Wiener abstracte pren l'espai ser l'espai clàssic de Wiener, l'espai de camins continus. El subespai ve donat per
amb producte intern donat per
L'espai clàssic de Wiener és llavors l'espai de les aplicacions contínues de en començant a 0, amb la norma uniforme. En aquest cas, la mesura gaussiana és la mesura de Wiener, que descriu el moviment brownià en , començant des de l'origen.
El resultat general que forma un conjunt de mesura zero respecte a en aquest cas reflecteix la rugositat del camí brownià típic, que se sap que no es pot diferenciar enlloc. Això contrasta amb la suposada diferenciabilitat dels camins en .
Referències
Categoria:Probabilitat Categoria:Mesura