En matemàtiques, concretament en teoria de la mesura, una mesura de Borel en un espai topològic és una mesura que es defineix en tots els conjunts oberts (i per tant en tots els conjunts de Borel).D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory . Torres Fremlin. Alguns autors requereixen restriccions addicionals sobre la mesura, tal com es descriu a continuació.

Definició formal Sigui un espai de Hausdorff localment compacte, i sigui sigui la σ-àlgebra més petita que conté els conjunts oberts de ; això es coneix com la σ-àlgebra dels conjunts de Borel. Una mesura de Borel és qualsevol mesura definit a la σ-àlgebra dels conjunts de Borel. Alguns autors exigeixen a més que és localment finit, és a dir, que cada punt té un veïnat obert amb mesura finita. Per a espais de Hausdorff, això implica que per a cada conjunt compacte ; i per a espais de Hausdorff localment compactes, les dues condicions són equivalents. Si una mesura de Borel és regular interna i regular externa alhora, s'anomena mesura regular de Borel. Si és regular interna, regular externa i localment finita, s'anomena mesura de Radon. Alternativament, si es fa servir una mesura regular de Borel és ajustat, és una mesura de radó.

Si és un espai polonès, aleshores cada mesura de Borel localment finita en és una mesura de radó.

A la línia real La línia real amb la seva topologia habitual és un espai de Hausdorff localment compacte; per tant, podem definir-hi una mesura de Borel. En aquest cas, és la σ-àlgebra més petita que conté els intervals oberts de . Tot i que hi ha moltes mesures de Borel μ, l'elecció de la mesura de Borel que assigna per a cada interval semiobert de vegades s'anomena "la" mesura de Borel en . Aquesta mesura resulta ser la restricció a la σ-àlgebra de Borel de la mesura de Lebesgue , que és una mesura completa i està definida a l'àlgebra σ de Lebesgue. La σ-àlgebra de Lebesgue és en realitat la compleció de la σ-àlgebra de Borel, la qual cosa significa que és la σ-àlgebra més petita que conté tots els conjunts de Borel i que es pot equipar amb una mesura completa. A més, la mesura de Borel i la mesura de Lebesgue coincideixen en els conjunts de Borel (és a dir, per a cada conjunt mesurable de Borel, on és la mesura de Borel descrita anteriorment). Aquesta idea s'estén a espais de dimensió finita (el teorema de Cramér-Wold, a continuació) però no es compleix, en general, per a espais de dimensió infinita. Les mesures de Lebesgue de dimensió infinita no existeixen.

Espais de producte Si X i Y són espais topològics de Hausdorff numerables en segon lloc, aleshores el conjunt de subconjunts de Borel del seu producte coincideix amb el producte dels conjunts de subconjunts de Borel de X i Y.Vladimir I. Bogachev. Measure Theory, Volume 1. Springer Science & Business Media, Jan 15, 2007 És a dir, el functor de Borel

de la categoria d'espais de Hausdorff de segon nombre a la categoria d'espais mesurables conserva els productes finits.

Aplicacions Integral de Lebesgue-Stieltjes La integral de Lebesgue-Stieltjes és la integral de Lebesgue ordinària respecte a una mesura coneguda com a mesura de Lebesgue-Stieltjes, que es pot associar a qualsevol funció de variació limitada sobre la recta real. La mesura de Lebesgue-Stieltjes és una mesura regular de Borel, i inversament totes les mesures regulars de Borel a la recta real són d'aquest tipus.

Transformada de Laplace Es pot definir la transformada de Laplace d'una mesura finita de Borel μ sobre la recta real mitjançant la integral de Lebesgue

Un cas especial important és on μ és una mesura de probabilitat o, encara més concretament, la funció delta de Dirac. En càlcul operacional, la transformada de Laplace d'una mesura sovint es tracta com si la mesura provingués d'una funció de distribució f. En aquest cas, per evitar possibles confusions, sovint s'escriu

on el límit inferior de 0 − és una notació abreujada per a

Aquest límit emfatitza que qualsevol massa puntual situada a 0 és completament capturada per la transformada de Laplace. Tot i que amb la integral de Lebesgue no cal prendre aquest límit, sí que apareix de manera més natural en relació amb la transformada de Laplace-Stieltjes.

Problema de moments Es poden definir els moments d'una mesura finita de Borel μ sobre la recta real mitjançant la integral

Per a aquests corresponen al problema del moment de Hamburger, al problema del moment de Stieltjes i al problema del moment de Hausdorff, respectivament. La pregunta o el problema a resoldre és, donat un conjunt d'aquests moments, hi ha una mesura corresponent? Per al problema del moment de Hausdorff, la mesura corresponent és única. Per a les altres variants, en general, hi ha un nombre infinit de mesures diferents que donen els mateixos moments.

Dimensió de Hausdorff i lema de Frostman Donada una mesura de Borel μ en un espai mètric X tal que μ (X) > 0 i μ ( B (x, r)) ≤ rs es compleix per a alguna constant s > 0 i per a cada bola B (x, r) en X, aleshores la dimensió de Hausdorff dim Haus (X) ≥ s. Un invers parcial es proporciona pel lema de Frostman:

Lema: Sigui A un subconjunt de Borel de Rn, i sigui s > 0. Aleshores, les següents són equivale

Hs ( A ) > 0, on H s denota la mesura de Hausdorff s- dimensional. Hi ha una mesura de Borel (sense signe) μ que satisfà μ ( A ) > 0, i de manera que

nts:

és vàlid per a tot x ∈ Rn i r > 0.

Teorema de Cramér-Wold El teorema de Cramér-Wold en la teoria de la mesura estableix que una mesura de probabilitat de Borel en està determinat de manera única per la totalitat de les seves projeccions unidimensionals.K. Stromberg, 1994. Probability Theory for Analysts. Chapman and Hall. S'utilitza com a mètode per demostrar resultats de convergència conjunta. El teorema rep el nom de Harald Cramér i Herman Ole Andreas Wold.

Referències

Categoria:Mesura Categoria:Matemàtiques