En teoria de la probabilitat, particularment en el càlcul de Malliavin, un espai de probabilitat gaussià és un espai de probabilitat juntament amb un espai de Hilbert de variables aleatòries gaussianes amb valors reals i mitjana zero. Exemples importants inclouen l'espai de Wiener clàssic o abstracte amb alguna col·lecció adequada de variables aleatòries gaussianes.
Definició Un espai de probabilitat gaussià consisteix en
un espai de probabilitat (complet) , un subespai lineal tancat anomenat espai gaussià tal que tots són variables gaussianes de mitjana zero. La seva σ-àlgebra es denota com . una σ-àlgebra anomenada σ-àlgebra transversal que es defineix per
Irreductibilitat Un espai de probabilitat gaussià s'anomena irreductible si . Aquests espais es denoten com a . Els espais no irreductibles s'utilitzen per treballar amb subespais o per estendre un espai de probabilitat donat. Els espais de probabilitat gaussians irreductibles es classifiquen per la dimensió de l'espai gaussià
Subespais Un subespai d'un espai de probabilitat gaussià consisteix en
un subespai tancat , una subσ-àlgebra de variables aleatòries transversals tals que i són independents, i
Exemple:
Sigui un espai de probabilitat gaussià amb un subespai tancat . Deixa sigui el complement ortogonal de en . Com que l'ortogonalitat implica independència entre i , tenim que és independent de . Definir via .
Observació Per a tenim .
Àlgebra fonamental Donat un espai de probabilitat gaussià es defineix l'àlgebra de variables aleatòries cilíndriques
on és un polinomi en i trucades l' àlgebra fonamental. Per a qualsevol és cert que .
Per a una probabilitat gaussiana irreductible l'àlgebra fonamental és un conjunt dens en per a tots
Model numèric i de Segal Una probabilitat gaussiana irreductible on es va triar una base per a s'anomena model numèric. Dos models numèrics són isomorfs si els seus espais gaussians tenen la mateixa dimensió.
Donat un espai de Hilbert separable , sempre existeix un espai de probabilitat gaussià irreductible canònic anomenat model de Segal (anomenat així per Irving Segal) amb com un espai gaussià. En aquest context, normalment s'escriu per a un element la variable aleatòria gaussiana associada al model de Segal com a . La notació és la d'un procés gaussià isornòmic i normalment l'espai gaussià es defineix a través d'un. Aleshores es pot triar fàcilment un espai de Hilbert arbitrari i tenir l'espai gaussià com a
Referències
Categoria:Probabilitat