En la teoria dels processos estocàstics, una subdisciplina de la teoria de la probabilitat, les filtracions són col·leccions totalment ordenades de subconjunts que s'utilitzen per modelar la informació disponible en un punt donat i, per tant, tenen un paper important en la formalització dels processos aleatoris (estocàstics).
Definició Sigui un espai de probabilitat i sigui ser un conjunt d'índexs amb un ordre total (sovint , , o un subconjunt de ).
Per a cada deixar sigui una sub-σ-àlgebra d'. Aleshores
s'anomena filtració si per a tots . Així doncs, les filtracions són famílies de σ-àlgebres que s'ordenen de manera no decreixent. Si és una filtració, aleshores s'anomena espai de probabilitat filtrat.
Exemple Sigui un procés estocàstic en l'espai de probabilitat . Sigui que denotem l'σ-algebra generada per les variables aleatòries . Aleshores
és una σ -àlgebra i és una filtració.
realment és una filtració, ja que per definició tot són σ -àlgebres i
Això es coneix com a filtració natural de respecte a .
Tipus de filtracions Filtració contínua dreta Si és una filtració, aleshores la filtració contínua dreta corresponent es defineix com a
amb
La filtració es diu continu per la dreta si
Filtració completa Deixa sigui un espai de probabilitat, i sigui
sigui el conjunt de tots els conjunts que estan continguts dins d'un -conjunt nul.
Una filtració s'anomena filtració completa si cada conté . Això implica és un espai de mesura complet per a cada (El contrari no és necessàriament cert.)
Filtració augmentada Una filtració s'anomena filtració augmentada si és completa i contínua. Per a cada filtració existeix una filtració augmentada més petita refinació .
Si una filtració és una filtració augmentada, es diu que satisfà les hipòtesis habituals o les condicions habituals.
Referències
Categoria:Probabilitat