En matemàtiques, la teoria d'operadors és l'estudi dels operadors lineals en espais funcionals, començant pels operadors diferencials i els operadors integrals. Els operadors es poden presentar de manera abstracta per les seves característiques, com ara operadors lineals limitats o operadors tancats, i es poden tenir en compte els operadors no lineals. L'estudi, que depèn en gran mesura de la topologia dels espais funcionals, és una branca de l'anàlisi funcional.

Si una col·lecció d'operadors forma una àlgebra sobre un camp, aleshores és una àlgebra d'operadors. La descripció de les àlgebres d'operadors forma part de la teoria d'operadors.

Teoria d'un sol operador La teoria d'un sol operador tracta de les propietats i la classificació dels operadors, considerats un per un. Per exemple, la classificació dels operadors normals en termes dels seus espectres entra en aquesta categoria.

Espectre d'operadors El teorema espectral és qualsevol dels diversos resultats sobre operadors lineals o sobre matrius.Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag En termes generals, el teorema espectral proporciona condicions sota les quals un operador o una matriu es pot diagonalitzar (és a dir, representar-se com una matriu diagonal en alguna base). Aquest concepte de diagonalització és relativament senzill per a operadors en espais de dimensió finita, però requereix algunes modificacions per a operadors en espais de dimensió infinita. En general, el teorema espectral identifica una classe d'operadors lineals que es poden modelar mitjançant operadors de multiplicació, que són tan simples com es pugui esperar trobar. En un llenguatge més abstracte, el teorema espectral és una afirmació sobre les C*-àlgebres commutatives. Vegeu també la teoria espectral per a una perspectiva històrica.

Exemples d'operadors als quals s'aplica el teorema espectral són els operadors autoadjunts o, més generalment, els operadors normals en espais de Hilbert.

El teorema espectral també proporciona una descomposició canònica, anomenada descomposició espectral, descomposició de valors propis o descomposició pròpia, de l'espai vectorial subjacent sobre el qual actua l'operador.

Operadors normals Un operador normal en un espai complex de Hilbert és un operador lineal continu que commuta amb el seu adjunt hermític , és a dir: Els operadors normals són importants perquè el teorema espectral es compleix per a ells. Avui dia, la classe d'operadors normals és ben coneguda. Exemples d'operadors normals són

operadors unitaris : Operadors hermitians (és a dir, operadors autoadjunts): ; (també, operadors antiautoadjunts: ) operadors positius : , on és qualsevol operador Les matrius normals es poden veure com a operadors normals si es pren l'espai de Hilbert com a .

El teorema espectral s'estén a una classe més general de matrius. Deixa ser un operador en un espai de producte intern de dimensió finita. es diu normal si . Es pot demostrar que és normal si i només si és unitàriament diagonalitzable: Per la descomposició de Schur, tenim , on és unitari i triangular superior. Des de és normal, . Per tant, ha de ser diagonal ja que les matrius triangulars superiors normals són diagonals. El contrari és evident.

En altres paraules, és normal si i només si existeix una matriu unitària de tal manera que on és una matriu diagonal. Aleshores, les entrades de la diagonal de són els valors propis de . Els vectors columna de són els vectors propis de i són ortonormals. A diferència del cas hermitià, les entrades de no cal que sigui real.

Descomposició polar La descomposició polar de qualsevol operador lineal limitat A entre espais complexos de Hilbert és una factorització canònica com a producte d'una isometria parcial i un operador no negatiu.

La descomposició polar per a matrius es generalitza de la següent manera: si A és un operador lineal limitat, aleshores hi ha una factorització única d' A com a producte A = UP on U és una isometria parcial, P és un operador autoadjunt no negatiu i l'espai inicial d' U és el tancament del rang de P.

L'operador U s'ha de debilitar a una isometria parcial, en lloc d'unitari, a causa dels següents problemes. Si A és el desplaçament unilateral sobre l2 (N), aleshores |A| = (A*A)1/2 = I. Per tant 2 si A = U |A|, U ha de ser A, que no és unitari.

L'existència d'una descomposició polar és una conseqüència del lema de Douglas:

Lema — Si A i B són operadors fitats en un espai de Hilbert H i A*A ≤ B*B, aleshores existeix una contracció C tal que A = CB. A més, C és única si Ker(B*) ⊂ Ker(C).

L'operador C es pot definir per , estès per continuïtat fins a la clausura de Ran ( B ), i per zero en el complement ortogonal de . L'operador C està ben definit ja que implica . A continuació, segueix el lema.

En particular, si , aleshores C és una isometria parcial, que és única si En general, per a qualsevol operador limitat A, on ( A*A ) 1/2 és l'única arrel quadrada positiva d' A*A donada pel càlcul funcional habitual. Així doncs, pel lema, tenim per a alguna isometria parcial U, que és única si Ker( A ) ⊂ Ker( U ). (Nota , on . ) Prenguem P com a ( A*A ) 1/2 i s'obté la descomposició polar A = UP. Fixeu-vos que es pot utilitzar un argument anàleg per demostrar que A = P'U', on P' és positiu i U una isometria parcial.

Quan H és de dimensió finita, U es pot estendre a un operador unitari; això no és cert en general (vegeu l'exemple anterior). Alternativament, la descomposició polar es pot mostrar utilitzant la versió d'operador de la descomposició de valor singular.

Per propietat del càlcul funcional continu, | A | és a l'àlgebra C* generada per A. Una afirmació similar però més feble és vàlida per a la isometria parcial: la part polar U és a l'àlgebra de von Neumann generada per A. Si A és invertible, U també serà a l'àlgebra C* generada per A.

Connexió amb l'anàlisi complexa Molts dels operadors que s'estudien són operadors en espais de Hilbert de funcions holomorfes, i l'estudi de l'operador està íntimament lligat a qüestions de teoria de funcions. Per exemple, el teorema de Beurling descriu els subespais invariants del desplaçament unilateral en termes de funcions internes, que són funcions holomorfes limitades al disc unitari amb valors de frontera unimodulars gairebé a tot arreu del cercle. Beurling va interpretar el desplaçament unilateral com una multiplicació per la variable independent a l'espai de Hardy.. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space. L'èxit en l'estudi dels operadors de multiplicació, i més generalment dels operadors de Toeplitz (que són la multiplicació seguida de la projecció a l'espai de Hardy) ha inspirat l'estudi de qüestions similars en altres espais, com ara l'espai de Bergman.

Àlgebres d'operadors La teoria de les àlgebres d'operadors posa en primer pla àlgebres d'operadors com ara les C*-àlgebres.

C*-àlgebres L'AC*-àlgebra, A, és una àlgebra de Banach sobre el camp dels nombres complexos, juntament amb una aplicació S'escriu x* per a la imatge d'un element x dA. L'aplicació * té les propietats següents:. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

És una involució, per a cada x en A Per a tot x i y en A : Per a cada λ de C i cada x de A : Per a tot x en A:

Observació. Les tres primeres identitats diuen que A és una *-àlgebra. La darrera identitat s'anomena identitat C* i és equivalent a: La identitat C* és un requisit molt fort. Per exemple, juntament amb la fórmula del radi espectral, implica que la norma C* està determinada de manera única per l'estructura algebraica:

Referències

Categoria:Matemàtiques