La teoria de models és la branca de la matemàtica que estudia les estructures matemàtiques, com ara els grups, els cossos, els grafs o àdhuc els models de la teoria de conjunts, amb les eines de la lògica matemàtica. Està estretament relacionada amb l'àlgebra i l'àlgebra universal. Els seus objectes d'estudi són models de teories en un llenguatge formal. Hom diu que un conjunt d'enunciats en un llenguatge formal és una teoria; un model d'una teoria és una estructura (p. ex., una interpretació) que satisfà els enunciats d'aquesta teoria.
La teoria de models està íntimament lligada amb una dualitat: examina els elements semàntics (significat i veritat) mitjançant els elements sintàctics (fórmules i demostracions) del llenguatge. Citant la primera pàgina de : àlgebra universal + lògica = teoria de models.
La teoria de models es va desenvolupar ràpidament durant la dècada de 1990, i Wilfrid Hodges en va donar una definició més moderna (1997): teoria de models = geometria algebraica − cossos, encara que els estudiosos de la teoria de models també estan interessats en l'estudi d'altres àrees, entre les quals es troben la combinatòria, la teoria de nombres, la dinàmica de l'aritmètica, les funcions analítiques i l'anàlisi no estàndard.
De la mateixa manera que la teoria de la demostració, la teoria de models està situada a cavall entre les matemàtiques, la filosofia i les ciències de la computació.
Història La disciplina de la teoria de models va sorgir a mitjans del . Tanmateix, des d'un punt de vista retrospectiu, algunes investigacions anteriors, sobretot en l'àmbit de la lògica matemàtica, es consideren d'una naturalesa propera a la teoria de models. El primer resultat significatiu en el que s'entén actualment per teoria de models fou un cas especial del teorema de Löwenheim-Skolem descendent, publicat per Leopold Löwenheim l'any 1915. El teorema de compacitat estava implícit en l'obra de Thoralf Skolem, però va ser publicat per primer cop l'any 1930, com a lema dins de la demostració de Kurt Gödel del seu teorema de completesa. El teorema de Löwenheim-Skolem i el teorema de compacitat van ser reformulats en una forma més general per Anatoli Maltsev els anys 1936 i 1941, respectivament.
Els avenços més moderns en el desenvolupament de la teoria de models es remunten al científic polonès Alfred Tarski, membre de l'escola de Lviv-Varsòvia durant el període d'entreguerres. L'obra de Tarski incloïa la conseqüència lògica, els sistemes deductius, l'àlgebra de la lògica, la teoria de la definibilitat, i la teoria semàntica de la veritat, entre altres àrees. Els seus mètodes semàntics van culminar en la teoria de models que Tarski i alguns alumnes seus de Berkeley van desenvolupar durant les dècades de 1950 i 1960. Aquests conceptes moderns de la teoria de models van influir profundament el programa de Hilbert i les matemàtiques modernes.
Àrees de la teoria de models Aquest article se centra en la teoria finita de models de primer ordre d'estructures infinites. La teoria de models finits, que se centra en estructures finites, és substancialment diferent de l'estudi d'estructures infinites, tant pel que fa als problemes estudiats com a les tècniques emprades. La teoria de models en lògiques d'ordre superior o en lògiques infinites tenen la dificultat que, en general, els teoremes de completesa i de compacitat no són certs en aquestes lògiques. Tot i això, s'han fet grans avenços en el desenvolupament d'aquestes lògiques.
Informalment, la teoria de models es pot dividir en teoria de models clàssica, teoria de models aplicada a grups i teoria de models geomètrica. Una quarta categoria podria ser la teoria de models computable, però es pot interpretar com una subàrea independent de la lògica.
Alguns exemples dels primers teoremes de la teoria de models clàssica inclouen el teorema de completesa de Gödel, els teoremes de Löwenheim-Skolem ascendent i descendent, el teorema de dos cardinals de Vaught, el teorema d'isomorfisme de Scott, el teorema dels tipus omesos i el teorema de Ryll-Nardzewski. Alguns exemples dels primers resultats de la teoria de models aplicada a cossos són l'eliminació de quantificadors de Tarski per a cossos reals tancats, el teorema d'Ax sobre cossos finits i el desenvolupament de Robinson de l'anàlisi no estàndard. Un pas important en l'evolució de la teoria de models clàssica fou el sorgiment de la teoria d'estabilitat (a partir del teorema de Morley sobre teories categòriques no numerables i del programa de classificació de Shelah), que va desenvolupar un càlcul de la independència i el rang basat en condicions sintàctiques satisfetes per teories.
Durant les últimes dècades, la teoria de models aplicada s'ha interrelacionat repetidament amb la teoria d'estabilitat pura. El resultat d'aquesta síntesi s'anomena teoria de models geomètrica (que inclou, per exemple, l'o-minimalitat, així com la teoria d'estabilitat geomètrica clàssica). Un exemple de teorema de la teoria de models geomètrica és la demostració de Hrushovski de la conjectura de Mordell-Lang per a cossos de funcions. L'objectiu de la teoria de models geomètrica és proporcionar una geografia de les matemàtiques, mitjançant un estudi detallat dels conjunts definibles sobre diverses estructures matemàtiques, amb l'ajut de les eines desenvolupades en l'estudi de la teoria de models pura.
Àlgebra universal
Els conceptes fonamentals de l'àlgebra universal són les signatures σ i les σ-àlgebres.
La signatura estàndard dels anells és σanell = {×,+,−,0,1}, on × i + són operacions binàries, − és unària, i 0 i 1 són nul·làries.
La signatura estàndard dels semianells és σsma = {×,+,0,1}, on les aritats són com abans.
La signatura estàndard dels grups (en notació multiplicativa) és σgrp = {×,−1,1}, on × és binària, −1 és unària i 1 és nul·lària.
La signatura estàndard dels monoides és σmnd = {×,1}.
Un anell és una σanell-estructura que satisfà les identitats i
Un grup és una σgrp-estructura que satisfà les identitats i
Un monoide és una σmnd-estructura que satisfà les identitats i
Un semigrup és una {×}-estructura que satisfà la identitat
Un magma és simplement una {×}-estructura.
Aquesta és una forma molt eficient de definir la majoria de classes d'estructures algebraiques, perquè també existeix el concepte general de σ-homomorfisme, que es materialitza adequadament en les nocions habituals d'homomorfismes de grups, semigrups, magmes i anells. Cal tenir present, però, que cal escollir correctament les signatures per tal que aquestes construccions funcionin de la manera esperada.
Es poden definir objectes com el σanell-terme t(u,v,w) donat per , amb l'objectiu de definir identitats i també per construir àlgebres lliures. Una classe equacional és una classe d'estructures que, com els exemples anteriors i molts altres, es defineix com la classe de totes les σ-structures que satisfan un cert conjunt d'identitats. El teorema HSP de Birkhoff afirma:
Una eina important en àlgebra universal són els ultraproductes , on I és un conjunt infinit que indexa un sistema de σ-estructures Ai, i U és un ultrafiltre sobre I.Un ultraproducte és un quocient del producte directe d'una família d'estructures, on tots els factors han de tenir la mateixa signatura. La ultrapotència és el cas especial d'aquesta construcció en què tots els factors són iguals.Un ultrafiltre sobre un conjunt parcialment ordenat donat P és un filtre maximal sobre P, és a dir, un filtre sobre P que no es pot fer més gran.
Mentre que, generalment, la teoria de models es considera una part de la lògica matemàtica, l'àlgebra universal, sorgida a partir de l'obra d'Alfred North Whitehead (1898) sobre àlgebra abstracta, és part de l'àlgebra. Això es pot veure en les seves respectives classificacions MSC. Tot i això, la teoria de models es pot veure com una extensió de l'àlgebra universal.
Teoria de models finits La teoria de models finits és l'àrea de la teoria de models més íntimament relacionada amb l'àlgebra universal. De la mateixa manera que amb alguns aspectes de l'àlgebra universal, i en contrast amb les altres àrees de la teoria de models, tracta principalment amb àlgebres finites, o més en general, amb σ-estructures finites per a signatures σ que poden contenir símbols de relació com en l'exemple següent: La signatura estàndard per a grafs és σgraf={E}, on E és un símbol de relació binària. Un graf és una σgraf-estructura que satisfà els enunciats i .
Un σ-homomorfisme és una aplicació que commuta amb les operacions i que conserva les relacions de σ. Aquesta definició dona lloc a la noció habitual d'homomorfisme de grafs, que té la interessant propietat de què un homomorfisme bijectiu no té per què ser invertible.
Les estructures també són una part de l'àlgebra universal; després de tot, algunes estructures algebraiques com els grups ordenats tenen una relació binària <. El que distingeix la teoria de models finits de l'àlgebra universal és l'ús generalitzat d'enunciats lògics (com en l'exemple anterior) en comptes d'identitats (en un context de teoria de models, hom pot reescriure una identitat t=t com un enunciat ).
La lògica utilitzada en la teoria de models finits acostuma a ser més expressiva que la lògica de primer ordre, la lògica habitual per a la teoria de models d'estructures infinites.
Lògica de primer ordre
Mentre que l'àlgebra universal proporciona la semàntica per a una signatura, la lògica en proporciona la sintaxi. Amb l'ús de termes, identitats i quasiidentitats, fins i tot l'àlgebra universal té unes eines sintàctiques limitades; la lògica de primer ordre és el resultat de fer explícites les quantificacions i d'afegir la negació com a part del llenguatge.
Una fórmula de primer ordre es construeix a partir de fórmules lògiques com R(f(x,y),z) o y = x + 1, afegint-hi connectives booleanes i prefixos quantificadors o . Un enunciat és una fórmula on cada aparició d'una variable està dins l'àmbit d'un cert quantificador. A continuació es mostren alguns exemples de fórmules φ (o φ(x) per ressaltar el fet que hi ha, com a molt, una variable x no quantificada a φ) i ψ, definides per: , .Cal notar que el símbol d'igualtat té un doble significat: a cada fórmula, el primer representa una definició dels símbols φ o ψ, mentre que els següents són comparacions.
És clar com traslladar aquestes fórmules en un significat matemàtic. En la σsma-estructura dels nombres naturals , per exemple, un element n satisfà la fórmula φ si i només si n és un nombre primer. De manera similar, la fórmula ψ defineix la irreductibilitat. Tarski va donar una definició rigorosa, de vegades anomenada "definició de Tarski de la veritat", per a la relació de satisfacció , de tal manera que hom pot demostrar fàcilment: és un nombre primer. és irreductible.
Hom diu que un conjunt T d'enunciats és una teoria (de primer ordre). Una teoria és satisfactible si té un model , és a dir, si té una estructura (amb una signatura adequada) que satisfà tots els enunciats del conjunt T. La consistència d'una teoria es defineix d'una manera sintàctica, però en lògica de primer ordre, i pel teorema de completesa, la satisfactibilitat és indistingible de la consistència. Per tant, alguns estudiosos de la teoria de models utilitzen el terme "consistent" com a sinònim de "satisfactible".
Hom diu que una teoria és categòrica si determina una estructura llevat d'isomorfisme, però resulta que aquesta definició no és útil, a causa de fortes restriccions en l'expressivitat de la lògica de primer ordre. El teorema de Löwenheim-Skolem implica que per a qualsevol teoria TEn una signatura numerable. El teorema es pot generalitzar fàcilment al cas de signatures no numerables. que tingui un model infinit, i per a qualsevol nombre cardinal infinit κ, existeix un model tal que el nombre d'elements de és exactament κ. Per tant, mitjançant una teoria categòrica només es poden descriure estructures finites.