miniatura|La integral definida d'una funció representa l'àrea limitada per la gràfica de la funció amb signe positiu quan la funció té valors positius i negatiu quan en té de negatius. El concepte d'integració és un concepte fonamental de les matemàtiques avançades, especialment en els camps del càlcul i de l'anàlisi matemàtica. Bàsicament, una integral és una generalització de la suma d'infinits sumatoris, infinitament petits. Una integral assigna números a funcions d'una manera que pot descriure el desplaçament, l'àrea, el volum i altres conceptes que sorgeixen combinant dades infinitesimals. La integració és una de les dues principals operacions de càlcul, amb la seva inversa, derivació, que és l'altra.
Donada una funció f(x) d'una variable real x i un interval [a,b] de la recta real, la integral
és igual a l'àrea de la regió del pla xy limitada entre la gràfica de f, l'eix x, i les línies verticals x = a i x = b, on es resten les àrees que estan per sota de l'eix x.
La paraula "integral" també es pot referir a la noció de funció primitiva, és a dir, una funció F, la derivada de la qual és la funció donada f. En aquest cas s'anomena integral indefinida, mentre que les integrals tractades en aquest article són les integrals definides. Alguns autors conserven una distinció entre primitives i integrals indefinides.
Els principis de la integració varen ser formulats per Newton i Leibniz a finals del . A través del teorema fonamental del càlcul, que varen desenvolupar tots dos de forma independent, la integració es connecta amb la derivació, i la integral definida d'una funció es pot calcular fàcilment un cop se'n coneix una primitiva. Les integrals i les derivades esdevenen eines bàsiques del càlcul, amb nombroses aplicacions en ciència i enginyeria.
A començaments del , Bernhard Riemann va donar una definició rigorosa de la integral. Es basa en un límit que aproxima l'àrea d'una regió curvilínia a base de partir-la en petits bocins verticals. Posteriorment varen començar a aparèixer nocions més sofisticades de la integral, on s'han generalitzat els tipus de les funcions i els dominis sobre els quals es fa la integració. La integral curvilínia es defineix per funcions de dues o tres variables, i l'interval d'integració [a,b] se substitueix per una certa corba que connecta dos punts del pla o de l'espai. En una integral de superfície, la corba se substitueix per un bocí d'una superfície a l'espai de tres dimensions. Els conceptes moderns d'integració es basen en la teoria matemàtica abstracta coneguda com a teoria de la mesura, que va desenvolupar Henri Lebesgue a principis del .
Les integrals de les formes diferencials juguen un rol fonamental en la geometria diferencial moderna. Aquestes generalitzacions de la integral varen sorgir primer a partir de les necessitats de la física, i tenen un paper important en la formulació de moltes lleis físiques com, per exemple, les de l'electromagnetisme.
Història
Integració abans del càlcul La integració es pot resseguir en el passat fins a l'antic Egipte, circa 1800 aC, amb el Papir de Moscou, on es demostra que ja es coneixia una fórmula per calcular el volum d'un tronc piramidal.No hi ha cap prova de com es va assolir el resultat; alguns, entre els quals s'inclou Morris Kline (Mathematical thought from ancient to modern times Vol. I) suggereixen que s'hi va arribar per prova i error.Helmer Aslaksen. Why Calculus? Universitat nacional de Singapore. La primera tècnica sistemàtica documentada capaç de determinar integrals és el mètode d'exhaustió d'Èudox (c. 370 aC), que mirava de trobar àrees i volums a base de partir-los en un nombre infinit de formes per les quals l'àrea o el volum fossin coneguts. Aquest mètode va ser desenvolupat i usat més endavant per Arquimedes, que el va emprar per calcular àrees de paràboles i una aproximació a l'àrea d'un cercle. Mètodes similars varen ser desenvolupats de forma independent a la Xina al voltant del per Liu Hui, que els va fer servir per trobar l'àrea del cercle. Més tard, Zu Chongzhi va fer servir aquest mètode per trobar el volum d'una esfera. Algunes idees de càlcul integral es troben al Siddhanta Shiromani, un llibre d'astronomia del del matemàtic indi Bhaskara II.
Fins al no varen començar a aparèixer avenços significatius sobre el mètode d'exhaustió. En aquesta època, d'una banda, el treball de Cavalieri amb el seu mètode dels indivisibles i, de l'altra, els treballs de Fermat, varen començar a desenvolupar els fonaments del càlcul modern. A inicis del , es varen produir nous avenços amb les aportacions de Barrow i Torricelli, que varen presentar els primers indicis d'una connexió entre la integració i la derivació.
Newton i Leibniz Els principals avenços en integració varen venir al amb el descobriment del teorema fonamental del càlcul, realitzat de manera independent per Newton i Leibniz. El teorema demostra una connexió entre la integració i la derivació. Aquesta connexió, combinada amb la facilitat (comparativament parlant) del càlcul de derivades, es pot fer servir per calcular integrals. En particular, el teorema fonamental del càlcul permet resoldre una classe més ampla de problemes. També cal destacar tot el marc estructural al voltant de les matemàtiques que varen desenvolupar també tots dos, Newton i Leibniz; l'anomenat càlcul infinitesimal va permetre d'analitzar, de forma precisa, funcions amb dominis continus. Posteriorment, aquest marc ha esdevingut el càlcul modern, i la notació per les integrals procedeix directament del treball de Leibniz.
Formalització de les integrals Encara que Newton i Leibniz varen subministrar un enfocament sistemàtic a la integració, el seu treball està mancat d'un cert nivell de rigor. És memorable l'atac del bisbe Berkeley qualificant els infinitesimals com "els fantasmes de les quantitats que s'esvaeixen". El càlcul va adquirir una posició més ferma amb el desenvolupament dels límits i, a la primera meitat del , va rebre una fonamentació adequada per part de Cauchy. La integració va ser rigorosament formalitzada per primera vegada per Riemann, emprant límits. Malgrat que totes les funcions contínues fragmentades i fitades són integrables segons la definició de Riemann en un interval fitat, més tard, es varen considerar funcions més generals per les quals no s'aplica la definició de Riemann. A principis del , Lebesgue va formular una definició diferent de la integral, basada en la teoria de la mesura, que és aplicable a moltes més funcions i conserva els mateixos resultats per les integrals que es poden calcular segons la definició de Riemann. També es varen proposar altres definicions d'integral, que amplien les definicions de Riemann i Lebesgue.
Notació Isaac Newton, per indicar integració feia servir una petita barra vertical damunt d'una variable, o posava la variable dins d'una caixa. La barra vertical es confonia fàcilment amb o , que Newton feia servir per indicar la derivació, i la notació "caixa" era difícil de reproduir pels impressors; per això, aquestes notacions no varen ser adoptades àmpliament.
La notació moderna de les integrals indefinides va ser presentada per Gottfried Leibniz el 1675.Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6a ed.), McGraw-Hill, pàg. 359, Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, pàg. 154 Per indicar summa (en llatí, "suma" o "total"), va adaptar el símbol integral, "∫", estirant una S llarga. La notació moderna de la integral definida, amb els límits a dalt i a baix del signe integral, la va fer servir per primer cop Joseph Fourier a Mémoires de l'Acadèmia Francesa, que va escriure al voltant de 1819–20 i que es va reimprimir en el seu llibre de 1822.Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, pàg. 247–252, Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, pàg. §231, Google Llibres En la notació matemàtica en àrab modern, que s'escriu de dreta a esquerra, es fa servir un signe integral invertit 22px|Integral àrab.W3C (2006). Arabic mathematical notation
Terminologia i notació Si una funció té una integral, es diu que és integrable. De la funció de la qual es calcula la integral es diu que és lintegrand. De la regió sobre el qual s'integra la funció se'n diu el domini d'integració. Si la integral no té un domini d'integració, es considera indefinida (la que té domini es considera definida). En general, l'integrand pot ser una funció de més d'una variable, i el domini d'integració pot ser una àrea, un volum, una regió de dimensió superior, o fins i tot un espai abstracte que no té estructura geomètrica en cap sentit usual.
El cas més senzill, la integral d'una funció real f d'una variable real x sobre l'interval [a, b], s'escriu
El signe ∫ és una "S" allargada que representa integració; a i b són respectivament el límit inferior i el límit superior de la integració i defineixen el domini d'integració; f és l'integrand, que s'ha d'avaluar en variar x sobre l'interval [a,b]; i dx pot tenir diferents interpretacions depenent de la teoria que es faci servir. Per exemple, pot ser vist simplement com la indicació que x és la variable d'integració, com una representació dels pesos en la suma de Riemann, com una mesura (en la integració de Lebesgue i les seves extensions), com un infinitesimal (en anàlisi no estàndard) o com una quantitat matemàtica independent: una forma diferencial. Casos més complicats poden variar la notació lleugerament.
Concepte d'integral Les integrals apareixen en moltes situacions pràctiques. Considereu una piscina. Si és rectangular, llavors, a partir de les seves longitud, amplada i alçada, es pot determinar fàcilment el volum d'aigua que pot contenir (per omplir-la), l'àrea de la superfície (per cobrir-la), i la llargada de la seva vora (per lligar-la). Tanmateix, si és oval amb un fons arrodonit, totes aquestes quantitats demanen integrals. En alguns casos pot ser suficient amb aproximacions pràctiques, però en la majoria de casos caldran respostes exactes i rigoroses a aquesta mena de problemes. Posem un exemple:
miniatura|Aproximacions a la integral de √x entre 0 i 1, amb ■ 5 mostres per l'esquerra (a dalt) i ■ 12 mostres per la dreta (davall) Per començar, es considerarà la corba y = f(x) entre x = 0 i x = 1, amb f(x) = √x. La pregunta és: Quina és l'àrea sota la funció f, a l'interval des de 0 fins a 1? D'aquesta àrea (encara desconeguda) se'n dirà la integral de f. La notació per aquesta integral serà .
Com a primera aproximació, es mira al quadrat unitat donat pels costats x=0 fins a x=1 i y=f(0)=0 i y=f(1)=1. La seva àrea és exactament 1. Tal com es pot veure el verdader valor de la integral ha de ser d'alguna forma més petit. Reduint l'amplada dels rectangles emprats per fer l'aproximació s'obtindrà un millor resultat; així, es parteix l'interval en cinc passos, emprant per a l'aproximació els punts 0, ¹⁄₅, ²⁄₅, així fins a 1. S'ajusta una caixa cada pas emprant l'alçada del cantó dret de cada bocí de la corba, així √¹⁄₅, √²⁄₅, i així fins a √1 = 1. Sumant les àrees d'aquests rectangles, s'obté una aproximació millor de la integral que s'està buscant,