miniatura|Fig. 1 - Un triangle. En trigonometria, el teorema del cosinus és una identitat, referida a un triangle qualsevol, que relaciona les longituds dels seus costats amb el cosinus d'un dels seus angles. Emprant la notació referida a la figura 1, el teorema del cosinus estableix queVegeu per exemple Teorema del cosinus A la pàgina de Ricard Peiró
O, de forma equivalent:
Cal fixar-se que c és el costat oposat a l'angle γ, i que a i b són els dos costats que formen l'angle γ. Totes tres identitats diuen el mateix; només es presenten separadament perquè en resoldre triangles amb tres costats donats s'ha d'aplicar la identitat tres cops permutant el paper dels tres costats.
El teorema del cosinus generalitza el teorema de Pitàgores, el qual només es compleix pel cas de triangles rectangles: si l'angle γ és un angle recte (mesura 90° o radiants), llavors i, per tant, el teorema del cosinus es redueix a
que és el teorema de Pitàgores.
El teorema del cosinus és útil per a calcular el tercer costat d'un triangle quan es coneixen dos costats i l'angle inclòs, i per a calcular els angles d'un triangle quan es coneixen els tres costats.Per exemple en la pàgina 47 de Teoria de màquines de Salvador Cardona Foix i Daniel Clos Costa, s'il·lustra la seva aplicació en la resolució d'aquests casos de triangles
Història miniatura|Fig. 2 – Triangle obtús ABC amb la perpendicular BH Els elements d'Euclides, que són del , contenen una versió del teorema del cosinus. El cas del triangle obtús i del triangle agut (que corresponen als casos en què el cosinus té valors negatius o positius respectivament) es tracten per separat, en les proposicions 12 i 13 del Llibre 2. Com que en l'època d'Euclides no s'havien desenvolupat les funcions trigonomètriques ni l'àlgebra (en particular els nombres negatius), l'afirmació té un caire més geomètric:
Utilitzant la notació de la Figura Fig. 2, L'enunciat d'Euclides es pot representar per la fórmula
Aquesta fórmula es pot transformar en l'enunciat del teorema del cosinus observant que CH = a cos(π – γ) = −a cos(γ).
La Proposició 13 conté un enunciat completament anàleg per a triangles acutangles.
El teorema del cosinus no va evolucionar més enllà dels dos teoremes d'Euclides fins al desenvolupament de la moderna trigonometria a l'edat mitjana pels matemàtics musulmans. L'astrònom i matemàtic al-Battani va generalitzar el resultat d'Euclides a la geometria esfèrica al principi del , això li va permetre calcular la distància angular entre estrelles.E. S. Kennedy, A Survey of Islamic Astronomical Tables, (Transactions of the American Philosophical Society, New Series, 46, 2), Philadelphia, 1956, pàg. 10-11, 32-34. Durant el , al-Kashi de Samarcanda va calcular taules trigonomètriques de gran exactitud i va presentar el teorema en una forma adequada per a la triangulació. En francès, encara ara es coneix el teorema del cosinus com el teorema d'Al-Kashi.Vegeu Muslim Scientists and Thinkers–Jamshid al-Kashi
El teorema va ser popularitzat al món occidental per François Viète, que aparentment el va descobrir de forma independent. A començaments del la notació moderna va permetre que el teorema del cosinus s'escrivís en la seva forma actual.Scientific American inventions and discoveries, Rodney P. Carlisle, pàgina 90.
Aplicacions miniatura|esquerra|Fig. 3 – Aplicacions del teorema del cosinus: costat desconegut i angle desconegut. El teorema es fa servir en triangulació per la resolució de triangles, és a dir per a trobar (vegeu Figura 3)
el tercer costat d'un triangle si es coneixen dos costats i l'angle entre ells:
els angles d'un triangle si es coneixen els tres costats:
el tercer costat d'un triangle si es coneixen dos costats i un angle oposat a un d'ells (també es pot emprar el teorema de Pitàgores per a resoldre aquest cas):
Si l'angle és molt agut (és a dir si c és petit en comparació amb a i b o γ és petit comparat amb 1), aquestes fórmules produeixen un gran error d'arrodoniment si els càlculs es fan en coma flotant.
La primera equació s'obté de forma immediata aïllant c de l'expressió del teorema del cosinus i agafant el signe positiu de l'arrel quadrada perquè c és una distància.
La segona també s'obté de forma immediata aïllant el cosinus i trobant l'angle.
La tercera és el resultat de resoldre l'equació de segon grau:
on a és la incògnita, el resultat dona:
Simplificant:
Aquesta equació pot tenir 2, 1, o 0 solucions positives, que corresponen al nombre de triangles possibles amb les dades donades. Tindrà dues solucions si b sin(C) < c < b, només en tindrà una si c > b o c = b sin(C), i no en tindrà cap si c < b sin(C).
Cas de triangle isòsceles Quan a = b, és a dir, quan el triangle és un triangle isòsceles amb els dos costats iguals formant l'angle γ el teorema del cosinus se simplifica significativament. Com que a² + b² = 2a² = 2ab, el teorema del cosinus esdevé
Demostracions Fent servir la fórmula de la distància S'agafa el triangle amb costats de longitud a, b, c, on és la mesura de l'angle oposat al costat de longitud c. Aquest triangle es pot col·locar damunt d'un sistema de coordenades cartesianes dibuixant Per la fórmula de la distància es té . Llavors només cal simplificar aquesta equació:
Un avantatge d'aquesta demostració és que no cal considerar per separat el cas del triangle acutangle i el triangle obtusangle.
Fent servir trigonometria miniatura|Fig. 4 – Un triangle acutangle amb una perpendicular Es traça la perpendicular al costat c i es té (vegeu Fig. 4)Aquesta demostració es pot trobar a The Laws of Sines and Cosines extreta de E. Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998, pàgines 216-217
(Això continua sent cert si α o β són obtusos, en aquest cas la perpendicular cau fora del triangle.) Multiplicant als dos cantons per c es té
Repetint el mateix amb les altres perpendiculars s'obté
Sumant les últimes dues dona
Reordenant s'obté
Substituint aquest resultat a la primera equació per obtenir dona el teorema del cosinus
Aquesta demostració fa servir trigonometria de forma que tracta els cosinus de diversos angles com a quantitats per la seva pròpia naturalesa. Fa servir el fet que el cosinus d'un angle expressa la relació entre els dos costats que contenen l'angle en qualsevol triangle rectangle. Altres demostracions (de més avall) són més geomètriques en el sentit que tracten expressions tals com merament com una etiqueta per indicar la longitud d'un cert segment.
Moltes demostracions tracten el cas agut i obtús per separat.
Fent servir el teorema de Pitàgores miniatura|Fig. 5 – Triangle obtús ABC amb altura BH Cas d'un angle obtús. Euclides demostra aquest teorema aplicant el teorema de Pitàgores a cada un dels dos triangles rectangles de la Fig. 5. Utilitzant d per indicar el segment CH i h per l'altura BH, el triangle AHB dona
i el triangle CHB dona
Desenvolupant la primera equació dona
Substituint aquí la segona equació s'obté
Aquesta és la proposició 12 del Llibre 2 dels Elements d'Euclides. Per a transformar-ho en l'expressió moderna del teorema del cosinus, fixeu-vos que
Cas d'un angle agut. La demostració de la Proposició 13 d'Euclides segueix la mateixa línia que la demostració de la Proposició 12: aplica el teorema de Pitàgores als dos triangles rectangles que es formen traçant la perpendicular sobre un dels costats adjacents a l'angle i fa servir el binomi de Newton per simplificar.
miniatura|esquerra|Fig. 6 – Una demostració curta fent servir trigonometria pel cas d'un angle agut Una altra demostració pel cas agut. Fent servir una mica més de trigonometria, el teorema del cosinus es pot deduir aplicant el teorema de Pitàgores només un cop. De fet, emprant el triangle rectangle de cantó esquerre de la fig. 6 es pot veure que:
que surt de fer servir la identitat trigonomètrica
Nota. Aquesta demostració necessita una lleugera modificació si b < a cos(γ). En aquest cas, el triangle rectangle al qual s'aplica el teorema de Pitàgores surt fora del triangle ABC. L'únic efecte que té això en el càlcul és que la quantitat b − a cos(γ) és substituïda per a cos(γ) − b. Com que aquesta quantitat només entra en el càlcul a través del seu quadrat, el resultat de la resta de la demostració queda inalterat. Nota. Aquest problema només passa quant β és obtús, i es pot evitar reflectint el triangle respecte de la bisectriu de l'angle γ.
Observació. Respecte de la Fig 6 val la pena de fixar-se que si l'angle oposat al costat a és llavors:
Això és útil per al càlcul directe d'un segon angle quan venen donats dos costats i l'angle inclòs.
Fent servir el teorema de Ptolemeu miniatura|Demostració del teorema del cosinus fent servir el teorema de PtolemeuRespecte del diagrama, el triangle ABC amb costats AB = c, BC = a i AC = b es dibuixa dins la seva circumferència circumscrita tal com es presenta. El triangle ABD es construeix congruent amb el triangle ABC amb AD = BC i BD = AC. Les perpendiculars des de D i C troben la base AB a E i F respectivament. Llavors:
Ara el teorema del cosinus s'obté com a resultat directe de l'aplicació del teorema de Ptolemeu al quadrilàter cíclic ABCD:
Evidentment, si l'angle B és de 90 graus, llavors ABCD és un rectangle i l'aplicació del teorema de Ptolemeu porta al teorema de Pitàgores:
Per comparació d'àrees També es pot demostrar el teorema del cosinus calculant areas. El canvi de signe quan l'angle esdevé obtús fa necessària la distinció dels casos agut i obtús.
Recordant que a², b², i c² són les àrees dels quadrats amb costats a, b, i c, respectivament; si γ és agut, llavors ab cos(γ) és l'àrea del paral·lelogram de costats a i b que formen un angle de ; si γ és obtús i, per tant, cos(γ) és negatius, llavors −ab cos(γ) és l'àrea del paral·lelogram de costats a' i b que formen un angle de .
esquerra|frame|Fig. 7a – Demostració del teorema del cosinus per a angle agut γ a base de "retallar i enganxar". Cas agut. La Figura 7a mostra un Heptàgon retallat en bocins més petits (de dues formes diferents) per a obtenir la demostració del teorema del cosinus. Els diferents bocins són de rosa, les àrees a², b² a l'esquerra i les àrees 2ab cos(γ) i c² a la dreta; de blau, el triangle ABC, a l'esquerra i a la dreta; de gris, triangles auxiliars, tots congruents amb ABC, i en igual nombre (2) tant a l'esquerra com a la dreta.
La igualtat d'àrees a l'esquerra i a la dreta dona
frame|Fig. 7b – Demostració del teorema del cosinus pel cas que l'angle γ sigui obtús a base de "retallar i enganxar". Cas obtús. La Figura 7b retalla un hexàgon de dues formes diferents en bocins més petits, resultant-ne una demostració del teorema del cosinus pel cas que l'angle γ sigui obtús. En té de rosa, les àrees a², b², i −2ab cos(γ) a l'esquerra i c² a la dreta; de blau, el triangle ABC dos cops, tant a la dreta com a l'esquerra.
La igualtat d'àrees a la dreta i a l'esquerra dona
Per donar rigor a aquestes demostracions cal afegir demostracions que les diverses figures són congruents i per tant, tenen la mateixa àrea. Per això es pot comprovar la igualtat en les longituds dels costats i la suma dels angles de cada vèrtex.
Fent servir la geometria del cercle Fent servir la geometria del cercle és possible obtenir una demostració més geomètrica que no pas fent servir el teorema de Pitàgores tot sol. S'eviten les manipulacions algebraiques (en particular s'evita fer servir la identitat del quadrat d'un binomi).
miniatura|esquerra|400px|Fig. 8a – El triangle ABC (rosa), un cercle auxiliar (blau cel) i un triangle rectangle auxiliar (groc)