va ser un físic teòric alemany pioner en la física atòmica i quàntica. Va ser nomenat 81 vegades candidat al premi Nobel i va ser director de tesi doctoral de més guanyadors del premi Nobel que qualsevol altre director anterior o posterior. Entre altres contribucions, en particular destaquen la introducció del segon nombre quàntic (nombre quàntic azimutal) i el quart (nombre quàntic d'espín). També va introduir la constant d'estructura fina el 1919 i és pioner de la teoria d'ones de rajos X.
Primers anys i educació Sommerfeld va néixer el 1868 en una família amb profundes arrels ancestrals a Prússia. La seva mare Cäcilie Matthias (1839–1902) era filla d'un constructor de Potsdam. El seu pare Franz Sommerfeld (1820–1906) era un metge d'una família destacada a Königsberg, on l'avi d'Arnold s'havia reassentat de l'interior el 1822 per a una carrera com a secretari postal de la cort al servei del Regne de Prússia. Sommerfeld va ser batejat cristià a l'Església Evangèlica Protestant Prusiana de la seva família, i encara que no era religiós, mai renunciaria a la seva fe cristiana.
Königsberg Sommerfeld va estudiar matemàtiques i ciències físiques des de 1887 a la Universitat de Königsberg, la seva ciutat natal situada a Prússia Oriental (avui Kaliningrad, territori de Rússia). El seu director de tesi doctoral va ser el matemàtic Ferdinand von Lindemann encara que també es va beneficiar de classes amb els matemàtics Adolf Hurwitz i David Hilbert, i amb el físic Emil Wiechert. Després de rebre el doctorat el 1891, Sommerfeld va romandre a Königsberg per tal d'aconseguir el diploma que l'acredités com a professor. Va aprovar l'examen nacional el 1892 i, tot seguit, va complir un any de servei militar obligatori fins al setembre de 1893. Amb el seu bigoti aixecat, la seva complexió física, el seu port prussià i la cicatriu d'esgrima a la cara, va donar la impressió de ser un coronel dels hússars.
Göttingen miniatura|Fotografia dels participants de la primera Conferència Solvay de 1911. A l'octubre del 1893 es va canviar a la universitat de Göttingen la qual era el centre neuràlgic de les matemàtiques a Alemanya. Allà es va convertir en assistent de Theodor Liebisch a l'Institut de Mineralogia a través d'un contacte personal - Liebisch havia estat professor a la universitat de Königsberg i amic de la família Sommerfeld. Al setembre de 1894, Sommerfeld va passar a ser assistent de Felix Klein, etapa que li va permetre aconseguir plaça de professor adjunt (sense salari). Entre les seves conferències destaquen les referides a equacions diferencials parcials, continguts que van passar a formar part del llibre Lectures on Theoretical Physics que posteriorment editaria. La col·laboració amb Klein el va inclinar cap a l'estudi de les matemàtiques aplicades; fruit d'aquesta col·laboració van ser els primers quatre volums de Über die Theorie des Kreisels (1903-1910), que reflecteix el canvi d'actitud envers la mecànica que va experimentar Sommerfeld durant el llarg període d'escriptura del tractat.
Durant la seva estada a Göttingen Sommerfeld va rebre la càtedra el 1896 i va conèixer a Johanna Höpfner, filla d'Ernst Höpfner (representant del govern a la universitat). A l'octubre de 1897, Sommerfeld comença a exercir com a professor de l'escola de mines de Clausthal (actualment Universitat Tecnològica de Clausthal com a successor de Wilhelm Wien. Aquesta plaça li proporciona ingressos suficients per casar-se amb Johanna Höpfner. A petició de Klein, Sommerfeld es va fer càrrec de l'edició d'un cinquè volum de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften que el va mantenir ocupat del 1898 fins al 1926.
Aquisgrà El 1900 va obtenir plaça de professor d'enginyeria tècnica sota la càtedra de mecànica aplicada a la universitat tècnica reial d'Aquisgrà on va desenvolupar la teoria hidrodinàmica. Més tard, a la universitat de Múnic, els estudiants de Sommerfeld Ludwig Hopf i Werner Heisenberg escriuran les seves tesis doctorals sobre aquest tema.
Múnic Fins a finals del i principis del , la física experimental a Alemanya es considerava que tenia un estatus més alt dins de la comunitat. A principis del , teòrics com Sommerfeld a Munic i Max Born a la Universitat de Göttingen, amb la seva formació primerenca en matemàtiques, van capgirar això de manera que la física matemàtica, és a dir, la física teòrica, es va convertir en el principal motor, i la física experimental es va utilitzar per verificar o fer avançar la teoria. Després d'obtenir els seus doctorats amb Sommerfeld, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg i Walter Heitler van esdevenir ajudants de Born i van fer contribucions significatives al desenvolupament de la mecànica quàntica, que en aquell moment estava en un desenvolupament molt ràpid. Allà entrà en contacte amb la teoria de la relativitat d'Albert Einstein, que encara no estava acceptada per la comunitat. Les seves contribucions matemàtiques a la teoria van ajudar que els científics més escèptics l'acceptessin. Posteriorment es va convertir en un dels fundadors de la mecànica quàntica, i molts dels seus deixebles es van fer famosos - els més importants Werner Heisenberg i Wolfgang Pauli.
El 1906 va ser professor de física de la universitat de Múnic. Va ser seleccionat per a aquests càrrecs per Wilhelm Röntgen, director de l'Institut de Física de Munic, que Sommerfeld considerava com una opció que ocupava una esfera d'acció privilegiada.
Durant els seus 32 anys de docència a Múnic, Sommerfeld va impartir cursos generals i especialitzats, a més d'impartir seminaris i col·loquis. Els cursos generals eren sobre mecànica, mecànica de cossos deformables, electrodinàmica, òptica, termodinàmica i mecànica estadística, i equacions diferencials parcials en física. Es feien quatre hores per setmana, 13 setmanes a l'hivern i 11 setmanes a l'estiu, i eren per a estudiants que havien fet cursos de física experimental de Röntgen i més tard de Wilhelm Wien. També hi havia una presentació setmanal de dues hores per a la discussió de problemes. Els cursos especialitzats eren d'interès actual i es basaven en els interessos de recerca de Sommerfeld; material d'aquests cursos va aparèixer més tard a les publicacions de literatura científica de Sommerfeld. L'objectiu d'aquestes conferències especials era abordar problemes actuals de la física teòrica i que Sommerfeld i els estudiants obtinguessin una comprensió sistemàtica del tema, independentment de si aconseguien o no resoldre el problema plantejat pel tema actual. Per als períodes de seminari i col·loqui, es van assignar treballs de la literatura actual als estudiants i després van preparar una presentació oral. De 1942 a 1951, Sommerfeld va treballar en l'ordenació de les notes de les seves classes per a la seva publicació. Van ser publicades com a Lectures on Theoretical Physics en sis volums.