Cantorova funkce je speciální příklad funkce, která má neintuitivní vlastnosti. Je spojitá (dokonce i stejnoměrně spojitá), ale není absolutně spojitá a na mnoha úsecích je konstantní, takže je její derivace nulová téměř všude, avšak její celková změna je nenulová. Je pojmenována po Georgi Cantorovi.
Definice Cantorova funkce c : [0;1]→[0;1] je definována následujícím postupem:
Číslo x se zapíše v trojkové soustavě, přičemž se vyhne zápisu obsahujícímu jedničky. (Rozdíl se projeví v případě, kdy rozvoj čísla končí na 022222…=100000… nebo 200000…=122222….) První jedničku v zápisu lze nahradit dvojkou a vše za ní nahradit nulami. Pokud se v zápisu čísla žádná jednička nevyskytuje, tento krok se přeskočí. Všechny dvojky se nahradí jedničkami. Výsledek se interpretuje jako číslo v binární soustavě. Tento výsledek je hodnota c(x).
Příklad: 1/4 se zapíše v trojkové soustavě jako 0,02020202…; nejsou zde žádné jedničky k nahrazení, takže se rovnou přepíše dle dalšího kroku na 0,01010101…; toto (přečteno jako číslo dvojkové soustavy) se rovná 1/3. c(1/4) = 1/3. 1/5 se zapíše jako 0,01210121…; první jednička se přepíše za dvojku a vše za ní se přepíše nulami, získá se číslo 0.02000000…; dále se promění na 0,01000000…; čte se jako 1/4. c(1/5) = 1/4.
600px|střed|Cantorova funkce(Na obrázku lze vidět výslednou funkci).
Vlastnosti Cantorova funkce je spojitá na celém intervalu [0;1]. Tato funkce zobrazuje interval [0;1] na interval [0;1]. Derivace Cantorovy funkce je rovna nule téměř v každém bodě jejího definičního oboru. Funkce je spojitá, dokonce stejnoměrně spojitá, avšak není absolutně spojitá. Cantorova funkce nemá derivaci v žádném bodě Cantorova diskontinua. Funkce je konstantní na intervalech tvaru (0,x1x2x3…xn022222…; 0,x1x2x3…xn200000…). Každý bod, který nepatří do Cantorova diskontinua, leží v jednom z těchto intervalů, přičemž derivace funkce v těchto bodech je
Jiná definice 250px|vpravo|Sekvenční Cantorova funkcePosloupnost funkcí fn na intervalu [0;1] je definována následujícím způsobem:
f0(x) = x Funkce fn+1(x) je definována rekurentně pomocí fn(x) následovně: fn+1(x) = 0,5 fn(3x) pokud 0 ≤ x ≤ 1/3. fn+1(x) = 0,5 pokud 1/3 ≤ x ≤ 2/3. fn+1(x) = 0,5 + 0.5 fn(3 (x − 2/3)) pokud 2/3 ≤ x ≤ 1.
Takto definovaná posloupnost funkcí konverguje k Cantorově funkci. Lze si všimnout, že volba počáteční funkce není rozhodující, pokud je funkce omezená a splňuje podmínky f0(0)=0 a f0(1)=1.
Související články Cantorovo diskontinuum Georg Cantor
Externí odkazy
Cantor Function by Douglas Rivers, The Wolfram Demonstrations Project.
Matematické aspekty Cantorovy funkce Bakalářská práce, 2008
Kategorie:Matematické funkce