náhled|Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup). V algebře je monoid algebraická struktura s asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy asociativní grupoid s neutrálním prvkem.
Definice Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy: Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z) Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x. Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace. ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M
Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.
Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.
Monoid, jehož operace je také komutativní, se nazývá komutativní monoid nebo abelovský monoid.
Příklady Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení. Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení
Homomorfismus monoidů O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že: ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y). f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).
Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.
Teorie kategorií V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) splňující , a . Morfismus je morfismem mezi monoidy, pokud a . Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.
Odkazy
Související články Grupoid Pologrupa Grupa – monoid rozšířený o inverzní operaci Volný monoid
Externí odkazy
Kategorie:Algebraické struktury