Kreační a anihilační operátory (též žebříkové operátory nebo zvyšovací a snižovací operátory) byly původně zavedeny jako pomůcka pro řešení lineárního harmonického oscilátoru. Později nalezly značné uplatnění ve formalizmu obsazovacích čísel u nerozlišitelných částic, případně v teorii pole.
Lineární harmonický oscilátor U lineárního harmonického oscilátoru zavádíme anihilační operátor v energiové bázi vztahem
Matice tohoto operátoru má tedy tvar
Hermitovským sdružením matice získáme vztah pro operátor kreační:
Speciálně je zřejmé, že .
Dále platí, že libovolný stav můžeme zapsat jako:
Vidíme tedy, že n-tý energetický stav je až na konstantu dán n-násobným působením kreačního operátoru na vektor , který nazýváme vakuum.
Pro další výpočty je užitečná komutační relace, kterou lze snadno odvodit z definice:
Z definic je taktéž zřejmé, že definujeme-li operátor jako
pak pro diagonální maticové elementy platí:
Tento operátor tedy odpovídá pozorovatelné veličině, jež udává, v kolikáté energetické hladině se systém nalézá. Z důvodu, jenž bude zřejmý později, tento operátor nazýváme operátorem počtu částic.
Reprezentace obsazovacích čísel Reprezentace obsazovacích čísel je s výhodou používána u systémů skládajících se z několika identických částic, bosonů nebo fermionů. Výhodou tohoto popisu je skutečnost, že takto zapsané vektory automaticky splňují podmínky související s nerozlišitelností částic.
Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Kvantová mechanika