náhled|upright=1.35|Keplerova rovnice jako závislost excentrické anomálie E na střední anomálii M vykreslená kalkulátorem Desmos pro různé hodnoty numerické excentricity Keplerova rovnice je transcendentní rovnice pro výpočet pohybu nebeských těles po eliptické dráze. Je důsledkem prvních dvou Keplerových zákonů, které Johannes Kepler publikoval roku 1609, a zní
.
Keplerova rovnice popisuje vztah mezi polohou nebeského objektu vůči hmotnému středu v jednom z ohnisek elipsy udanou ve formě pomocné veličiny excentrické anomálie , a času zadaného pomocí střední anomálie . Parametr je numerická excentricita eliptické oběžné dráhy.
Keplerova rovnice se používá např. při výpočtu časové rovnice (tj. rozdílu mezi středním slunečním časem a skutečným slunečním časem). Dílčí úlohou je stanovit pravou anomálii Země na její dráze kolem Slunce.
Stručně Mějme souřadnicový systém s počátkem ve Slunci a osou x mířící k perihelu. Pak lze tuto trajektorii parametrizovat
,
kde a je hlavní poloosa elipsy, vedlejší poloosa elipsy, je numerická excentricita, je vzdálenost ohniska od středu elipsy, úhel je excentrická anomálie.
Keplerova rovnice má pak tvar:
Kde perioda oběhu a čas průchodu perihelem. Konečně je čas, ve kterém se zajímáme o polohu planety. Pravou stranu poslední rovnice nazýváme střední anomálie a značíme .
Odvození náhled|upright=1.35|Ke Keplerově rovnici na eliptické keplerovské dráze Vzdálenosti: Body: velká poloosa střed malá poloosa ohnisko (Slunce) lineární excentricita Periapsis Úhly: pravá anomálie objekt (planeta) excentrická anomálie pomocný bod objekt střední anomálie fiktivní objekt Druhý Keplerův zákon zvaný též zákon ploch, vyplývá ze zachování momentu hybnosti v problému dvou těles, který se v astronomii nazývá také Keplerův problém. Předpokládá, že na nebeský objekt působí pouze radiální síla z hmotného středu . Tato síla podléhá zákonu převrácených čtverců (je úměrná , stejně jako Newtonovská gravitační síla), což znamená, že celkový tok síly všemi kulovými plochami se středem je stejný (tj. nezávislý na poloměru koule ). Za těchto podmínek je podle prvního Keplerova zákona dráha planety kuželosečka. Keplerova rovnice je vzorec vyjadřující větu o zákonu ploch pro eliptickou dráhu. Ve vzorci je zakomponován čas ve formě střední anomálie (tak nazvané Keplerem) a poloha astronomického objektu na své oběžné dráze (keplerovské elipse) ve formě (Keplerem tak nazvané) pravé anomálie , tj. jejich úhlová vzdálenost od periapsidy , (prostřednictvím pomocné veličiny zvané excentrické anomálie ) v jednoznačně definovaném vztahu.
Veličina je numerická excentricita elipsy.
Použití střední anomálie Rovnoměrné plynutí času lze vyjádřit pohybem fiktivní tělesa (na obrázku ) po kruhové dráze s konstantní úhlovou rychlostí. K tomuto účelu se používá „kružnice opsaná“ kolem keplerovské elipsy, po které obíhá . je okamžik, kdy se jak bod tak skutečný objekt nachází v periapsidě . Oba body mají tutéž oběžnou dobu a oba současně procházejí při každém celočíselném násobku oběžné doby periapsidou a při každém polovičním násobku apoapsidou.
náhled|K rovnici Okamžitá poloha bodu je reprezentována úhlem (všechny následující úhly jsou uvedeny v úhlové míře) s vrcholem ve středu pomocné kružnice (i elipsy) ve vztahu pro periapsidu udaný jako střední anomálie označuje: . Při tom je oběžná doba a střední úhlová rychlost. V okamžiku , kdy se nebeský objekt nachází v periapsidě, je nejblíže k barycentru v ohnisku elipsy.
Podle druhého Keplerova zákona opíše průvodič tělesa za stejný časový interval stejnou plochu. Protože časový interval (v otáčkách) je úměrný podílu délky oblouku k obvodu opsané kružnice, je podíl eliptické dílčí plochy k ploše elipsy stejně velký jako podíl oblouku k obvodu opsané kružnice: . kde je délka velké poloosy elipsy a také poloměr kružnice opsané, a je délka malé poloosy elipsy. Elipsa a opsaná kružnice si jsou podobné s poměrem , tedy elipsu můžeme v každé rovnoběžce brát jako opsanou kružnici „stlačenou“ na malou poloosu v tomto poměru.
náhled|K rovnici náhled|212px|bez|K rovnici
Použití excentrické anomálie Projekcí pozice planety na kružnici opsanou eliptické oběžné dráze ve směru kolmém na hlavní poloosu je pomocný bod . Úhel s vrcholem ve středu kružnice a rameny tvořenými periapsidou a polopřímkou vedenou ze středu bodem , Kepler nazval excentrická anomálie . Z podobnosti plyne následující vztah:
Po dosazení rovnice do rovnice dostáváme: .
Výsledek: Keplerova rovnice náhled|K rovnici a náhled|K rovnici
Iplicitní Pomocí rovnice nalezneme implicitní vyjádření požadovaného vztahu mezi excentrickou anomálií (bod ) a střední anomálií (bod ). Explicitní vztah vyplývá až po/kým následující krok:
Explicitní Pokud průvodič opíše v jedné periodě plný úhel a opsaná plocha je , pak opíše do doby úhel o faktor menší plochu: . Podobně analyzujeme průvodiče v úhlu a dostáváme: . Plocha se skládá z plochy a : . Dílčí plocha (na obrázku ohraničená světle modře) je přímočarý ohraničený trojúhelník se základnou a výškou : . je numerická excentricita elipsy, zatímco je lineární excentricita, což je vzdálenost ohniska elipsy od jejího středu.
Dílčí plocha je podle rovnice stejně velká jako plocha , jejíž hodnotu udává rovnice .
Dosazením rovnic , a do rovnice dostáváme .
z čehož plyne Keplerova rovnice: .
Metody řešení Keplerovy rovnice Řešení Keplerovy rovnice není možné vyjádřit v uzavřeném tvaru jako funkci excentrické anomálie . Existují různé metody, jak vypočítat ze střední anomálie :
<li> je lichá periodická funkce proměnné s periodou . Je tedy možné ji rozvinout ve Fourierovu řadu, která konverguje pro všechny a , a platí
kde je Besselova funkce prvního druhu -tého řádu.
Z hodnoty pro je možné snadno vypočítat všechny ostatní hodnoty :
kde (závorka znamená celou část čísla), a , takže . <li>Kořen funkce
je řešením Keplerovy rovnice. Nulový bod je možné numericky vypočítat pomocí Newtonovy metody následujícím způsobem: . Pro většinu eliptických drah je vhodná počáteční hodnota . Pro excentricity je vhodnější .
<li>Stabilní, ale pomalu konvergující metoda vychází z Banachovy věty o pevném bodě: .
<li>Pro malé excentricity je možné aproximovat také následujícím způsobem:
Přitom chyba je řádu ; v případě Země, jejíž dráha má excentricitu je chyba v omezeném časovém rámci menší než na 5. desetinném místě.
<li>Řešením pro pomocí Lagrangeovy inverzní transformace je Maclaurinova řada pro
pro konverguje lineárně. Je-li tedy , pak konverguje pro lineárně. uvádí koeficienty polynomů v čitateli s proměnnou .
Řešení některých dílčích úloh Keplerova problému
Střední anomálie → pravá anomálie Pro stanovení pozice nebeského tělesa na keplerovské dráze v okamžiku nebo pro střední anomálii odpovídající tomuto okamžiku je třeba zjistit pravou anomálii . Pomocí Keplerovy rovnice nejdříve určíme excentrickou anomálii (viz výše). Pak lze spočítat pravou anomálii podle následující vztahů:
nebo
Zde je lineární excentricita eliptické dráhy. Pro získání správné hodnoty je nutné rozlišovat případy a .
Poznámky Jmenovatel druhého vzorce udává přímou vzdálenost astronomického objektu od ohniska :
Ze vzorců lze lehce vyjádřit nebo , výsledek je:
a
Pravá anomálie → střední anomálie Pro astronomické těleso na keplerovské dráze s pravou anomálií je třeba určit příslušnou střední anomálii pro okamžik . Jde o úlohu s opačným zadáním než jaká je uvedena výše.
Pro výpočet excentrické anomálie z času platí .
Dolní index u vyjadřuje, že je třeba hodnotu arkustangenty umístit do správného kvadrantu (stejného v jakém je ). Keplerova rovnice udává příslušnou střední anomálii .
Z lineární rovnice pro tento element dráhy dostáváme:
Příklad na získání časového okamžiku z pravé aomálie Čas průchodu čtyřmi vrcholy elipsy zemské dráhy: Elementy dráhy platné pro planetu Zemi jsou uvedené v článku Oběžná dráha Země kolem Slunce. Referenční použitý čas se počítá v juliánských staletích. Zde se však počítá ve dnech, takže čas je třeba vydělit 36525, aby bylo zachováno a . Přitom se zanedbávají velmi pomalé změny numerické excentricity (). Nulový čas a v důsledku toho také – je 1. leden 2000, 12:00 UT. Pravá anomálie při průchodu Země perihelem v roce 2000 je rovna 360° (ne nulová!), v roce 2001 rovna 720° atd.
+ Čas průchodu čtyřmi vrcholy elipsy zemské dráhy perihel 2000 jarnívedlejší vrchol afel podzimnívedlejší vrchol perihel 2001Pravá anomálie 360450540630720čas 2,51191,883185,140278,398367,770časový rozestup 89,37293,25893,25889,372
Vzdálenost mezi dvěma středními průchody perihelem (anomalistický rok) je Takto spočítané střední časy průchodu perihelem se mohou o několik dnů lišit od skutečných (především kvůli rušení Měsícem).
Pravá anomálie → poloměr dráhy
Pozice astronomického tělesa na jeho keplerovské dráze v čase je určena jeho pravou anomálií. Příslušnou vzdálenost – poloměr dráhy – lze spočítat následujícím způsobem:
vzdálenost (poloměr dráhy) velká poloosa elipsy numerická excentricita pravá anomálie
Pravá anomálie → dráhová rychlost Časová změna pravé anomálie odpovídá úhlové rychlosti vzhledem ke gravitačnímu centru. Normálová složka rychlosti plyne tedy přímo ze vzorce
radiální rychlost je časová změna poloměru dráhy:
Pro dráhovou nebo orbitální rychlost pak plyne z Pythagorovy věty
dráhová rychlost pravá anomálie poloměr dráhy
Snáze lze dráhovou rychlost určit pomocí hodografu ze zákona ploch:
specifický úhlový moment jako centrální parametr pohybu
parametr elipsy jako typický element dráhy
velká poloosa velká poloosa s Gravitační konstanta a hmotnost centrálního tělesa
Z tohoto vyplývá minimální a maximální rychlost v apocentru a pericentru eliptické dráhy:
numerická excentricita
Další vztahy Mezi pravou anomálií excentrickou anomálií a střední anomálií existují také četné další vztahy, které byly používány v historii nebeské mechaniky. Pravou anomálii vypočítat bez okliky přes Keplerovu rovnici, přímo ze speciální diferenciální rovnice pro , což je zajímavé pro postupné numerické aproximace.
Pro malé excentricity lze také aproximovat pravou anomálii ze střední anomálie :
Rozdíl − se nazývá rovnice středu.
Použití Keplerovy rovnice pro výpočet časové rovnice Výpočtem časové rovnice se v tomto článku zabýváme podrobněji, protože její výpočet se v některých detailech liší od výpočtu v hlavním článku. Vychází z oběžných prvků Slunce, které jsou extrapolovány od 1. ledna 2000 12:00 UTC do dne, pro který se má časová rovnice vypočítat. Pro období do roku 2025 se zde používají předem stanovené tzv. základní sluneční hodnoty pro 1. ledenZákladní sluneční hodnoty a použité symboly jsou převzaty z příručky Sonnenuhren-Handbuch Německé společnosti pro chronometrii: Fachkreis Sonnenuhren entnommen: 2006, S. 43–49. Extrapolace pro kalendářní den v aktuálním roce je tak odpovídajícím způsobem kratší. Zde se používá přímo Keplerova rovnice, tam s rovnicí středu, která je z Keplerovy rovnice odvozena, což tam výpočet zkracuje.
V časové rovnici se používá poloha Země na její eliptické dráze kolem Slunce ve 12:00 UTC v určený den roku. Ta se vypočítá pomocí Keplerovy rovnice jako excentrická anomálie a převede se na pravou anomálii . Po přechodu na geocentrický pohled na svět se výsledek nerovnoměrného orbitálního pohybu (první příčina časové rovnice) přepočítá na čas odvozený od Slunce (pravý sluneční čas WOZ).
Kvantitativní, tedy numerické zpracování časové rovnice je v podstatě – totiž při z eliptický pohybu po dráze Země vyplývající části časové rovnice – použitím Keplerovy rovnice. Především stal se s tím/v důsledku místo Země na její eliptické dráze (také keplerovská dráha) k dané/předpovědět okamžik nastaven.
Definice časové rovnice První definice: