náhled|Titulní strana logaritmických tabulek Joosta Bürgiho vydaných v Praze roku 1620 Logaritmus kladného čísla y je exponent (mocnitel), na který musí být umocněna jistá pevná hodnota, základ, aby vyšlo číslo y. Například logaritmus čísla 1000 se základem 10 je 3, protože 10 na třetí je 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 103). Obecně pro libovolná dvě reálná čísla b a x, kde b je kladné a různé od jedné, platí definice
,
čili x je logaritmus y při základu b právě když y se rovná b na x-tou. Podmínka b ≠ 1 je nezbytná proto, že jednička umocněná na libovolné číslo dává stále jedničku, takže nemůže sloužit jako použitelný základ logaritmů. A podmínka b > 0 plyne z toho, že umocňování záporných čísel na libovolný reálný exponent není definováno. Číslo y musí být kladné, jelikož b je kladné a umocněním kladného čísla na jakýkoli exponent dostaneme opět kladné číslo; nulu a záporná čísla tedy logaritmovat nelze. Číslo x, výsledek logaritmování, může v závislosti na b a y nabývat všech reálných hodnot.
Logaritmy uveřejnil skotský matematik John Napier v roce 1614, i když možná již o několik let dříve je nezávisle objevil v Praze působící mechanik Joost Bürgi, který však své tabulky vydal až roku 1620. Současné pojetí logaritmu pochází od Leonharda Eulera, který jej v 18. století spojil s exponenciální funkcí. Zavedení logaritmů zjednodušilo výpočty pomocí logaritmických tabulek a později logaritmických pravítek. Proto logaritmy rychle přijali mořeplavci, vědci, inženýři a další profesionálové. Umožnily jim totiž převést některé náročné početní operace na jednodušší. Například násobení čísel lze převést na jednodušší sčítání, protože logaritmus součinu je součet logaritmů činitelů:
takže stačí pomocí tabulek zjistit logaritmy činitelů, sečíst je, odlogaritmovat výsledek opět pomocí stejných tabulek, a tím získat součin, aniž by bylo potřeba cokoli násobit.
Logaritmus se základem 10 se nazývá dekadický neboli desítkový a má mnoho aplikací ve vědě a technice. Přirozený logaritmus má jako základ Eulerovo číslo e (≈ 2,718) a používá se v čisté matematice, zejména v diferenciálním počtu. Běžně se používá také binární logaritmus, který má základ 2 a je důležitý pro matematickou informatiku. Stejně jako logaritmus je inverzní k umocňování, komplexní logaritmus je inverzní funkcí exponenciální funkce aplikované na komplexní čísla. Diskrétní logaritmus je další varianta; používá se zejména v asymetrické kryptografii. Logaritmické stupnice umožňují zmenšit veličiny s velkým rozpětím hodnot na lépe uchopitelné hodnoty. Například decibel je logaritmická jednotka, která udává poměr fyzikální veličiny (obvykle energie nebo intenzity) k referenční úrovni, tj. stanoví poměr mezi uvolněnými energiemi. V chemii podobně logaritmicky měří pH kyselost a zásaditost vodních roztoků. Logaritmy jsou také běžné ve vědeckých vzorcích, v teorii složitosti a při popisu geometrických útvarů zvaných fraktály. Popisují hudební intervaly, objevují se ve vzorcích, které počítají prvočísla, vystupují v různých modelech psychofyziky a pomáhají ve finančnictví.
Motivace a definice Před vynálezem kalkulátorů bylo ruční násobení a dělení velkých čísel zdlouhavé a náchylné k chybám. Logaritmy umožnily tento problém elegantně obejít: protože logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů, stačilo místo násobení provést pouhé sčítání – operaci podstatně snazší. Postup byl následující: z logaritmických tabulek se vyčetly logaritmy obou činitelů, ty se sečetly a výsledný součet se pomocí téže tabulky převedl zpět, odlogaritmoval – a tím byl součin hotov. Podobně šlo převést dělení na odčítání, umocňování na násobení a odmocňování na dělení. Pokud stačilo počítat s přesností na několik málo platných číslic, výpočet ještě urychlilo logaritmické pravítko. Tento přístup byl natolik výhodný, že logaritmy rychle pronikly do astronomie, navigace, inženýrství i obchodu a zůstaly nepostradatelným výpočetním nástrojem po více než tři staletí – než je v 70. letech 20. století nahradily elektronické kalkulátory.
Myšlenkou logaritmů je obrátit (invertovat) operaci umocňování. Například třetí mocnina čísla 2 je 8, protože 8 je součin tří činitelů rovných dvěma:
Z toho vyplývá, že logaritmus 8 o základu 2 je 3, tedy:
log2 8 = 3.
Třetí mocnina libovolného čísla b je součin tří činitelů b. Obecněji, umocnění b na n-tou mocninu, kde n je přirozené číslo, se provádí vynásobením n činitelů rovných b. n-tá mocnina b se zapisuje jako bn, což znamená:
Umocňování lze rozšířit na by, kde b je kladné číslo a exponent y je libovolné reálné číslo. Například b−1 je převrácená hodnota b, tedy 1/b.Shirali, Shailesh,
Definice
Logaritmus kladného reálného čísla při základu je exponent, na který musí být umocněn základ , aby výsledek byl , přičemž je kladné reálné číslo různé od . Jinými slovy, logaritmus čísla při základu je řešení rovnice :
,kde je základ logaritmu; je logaritmované číslo (logaritmand); je samotný logaritmus.
Příklady Logaritmus je celé číslo právě tehdy, když logaritmované číslo je celou mocninou základu. Například , protože .
Logaritmy mohou být také záporné:
protože
Třetí příklad: log10(150) je přibližně 2,176, což leží mezi 2 a 3, stejně jako 150 leží mezi (102 = 100) a (103 = 1 000).
Dále pro libovolný základ b platí logb(b) = 1 jakož i logb(1) = 0, protože b1 = b a b0 = 1.
Logaritmické identity
Různé vzorce popisují vztah jednoho logaritmu k druhému; nazývají se logaritmické identity.
Pro každý přípustný základ b především platí
a .
Součin, podíl, mocnina a odmocnina
Následující logaritmické identity lze odvodit přímo z definice logaritmu a/nebo . Vzorce v tabulce zároveň ukazují, jak logaritmy zjednodušily ruční výpočty: umožňují převést násobení na sčítání, dělení na odčítání, umocňování na násobení a odmocňování na dělení. Ve všech vzorcích musí mít logaritmy stejný základ.
Vzorec Popis Příklad součin Logaritmus součinu je součtem logaritmů násobených čísel podíl Logaritmus podílu je rozdílem logaritmů mocnina v logaritmovaném čísle Logaritmus p-té mocniny čísla je p-násobek logaritmu daného čísla odmocnina Logaritmus p-té odmocniny čísla se rovná logaritmu čísla dělenému p.
Důležitý speciální případ vzorce ve druhém řádku je .
Změna základu
Logaritmus logb x lze vypočítat z logaritmů x a b, obou při libovolném základu k, pomocí následujícího vzorce:
Typické vědecké kalkulačky počítají logaritmy se základy 10 a e., p. 21 Logaritmy při libovolném základu b lze určit pomocí některého z těchto logaritmů podle vzorce:
Je-li dán číslo x a jeho logaritmus logb x, neznámý základ b je dán vztahem:
Speciální základy
náhled|upright=1.2|Grafy logaritmických funkcí o základech 1/2 (modře), 2 (zeleně) a (červeně)
Mezi všemi možnostmi pro základ jsou zvlášť běžné tři, b = 10, b = e (matematická konstanta zvaná Eulerovo číslo, e ≈ 2,71828183) a b = 2 (binární logaritmus).
V matematické analýze je rozšířené použití logaritmu se základem e, zvanému přirozený logaritmus; nazývá se tak proto, že má derivaci , zatímco pro libovolný jiný základ b je vzorec složitější: . Přirozený logaritmus tak je nejjednodušší volbou v matematice a fyzice všude tam, kde se pracuje s diferenciálními rovnicemi nebo integrály – je přímo primitivní funkcí k .
Logaritmy o základu 10 (dekadický logaritmus) jsou snazší pro ruční výpočty v desítkové číselné soustavě. Platí
Proto se log10 x také přibližně rovná počtu cifer v zápisu přirozeného (kladného celého) čísla x. Konkrétně platí, že pokud x je přirozené číslo, tak
počet cifer v zápise x = nejmenší celé číslo vyšší než log10 x = .
Například log10 1430 je přibližně 3,15; nejbližší vyšší celé číslo je 4, což je počet cifer čísla 1430. Pokud x > 1 není celé, tak tento vzorec dává počet cifer před desetinnou čárkou, a pokud 0 < x < 1, dostaneme záporně vzatý počet nul mezi desetinnou čárkou a první platnou cifrou v desetinném zápisu čísla x. Podobný vztah platí také mezi počtem cifer zápisu čísla ve dvojkové soustavě a logaritmem o základu 2 atd.
Jak přirozený logaritmus, tak binární logaritmus se používají v teorii informace a odpovídají použití natů nebo bitů jako základních jednotek informace. Binární logaritmy se také používají v matematické informatice, kde je binární systém všudypřítomný; v hudební teorii, kde oktáva je poměr dvou tónů s frekvencemi v poměru 2 : 1 a počet centů mezi libovolnými dvěma tóny je škálovaná verze binárního logaritmu, neboli log2 krát 1200 při 100 centech na půltón v konvenčním rovnoměrně temperovaném ladění, nebo ekvivalentně logaritmus se základem 21/1200; a ve fotografii, kde se logaritmy se základem 2 používají při měření expozičních hodnot, úrovní světla, časů expozice, clon objektivů a fotografické citlivosti.
Zkratka log x se často používá, když lze zamýšlený základ odvodit z kontextu nebo oboru, nebo když je základ neurčitý nebo nepodstatný. Dekadické logaritmy (základ 10), historicky používané v logaritmických tabulkách a logaritmických pravítkách, jsou základním nástrojem pro měření a výpočty v mnoha oblastech vědy a inženýrství; v těchto kontextech log x obvykle znamená logaritmus se základem deset. V čisté matematice log x někdy znamená přirozený logaritmus (základ e). V matematické informatice a teorii informace se log často vztahuje k binárním logaritmům (základ 2). Vedle toho existuje specifická notace pro logaritmy tří nejběžnějších základů, kterou uvádí následující tabulka. Sloupec ISO zápis uvádí označení navržená Mezinárodní organizací pro normalizaci.
Základ b Název pro logb x ISO zápis Jiné zápisy 2 binární logaritmus lb x ld x, log x, lg x, log2 xe přirozený logaritmus ln x log x, loge x 10 dekadický logaritmus lg x log x, log10 x b logaritmus o základu b logb x
Dějiny
Předchůdci
Babyloňané mezi lety 2000–1600 př. n. l. možná vynalezli násobení pomocí čtvrtin čtverců k vynásobení dvou čísel pouze pomocí sčítání, odčítání a tabulky čtvrtin čtverců. Tento postup je založen na vzorci . Nedá se však použít pro dělení bez dodatečné tabulky převrácených hodnot (nebo znalosti dostatečně jednoduchého algoritmu pro jejich generování). Velké tabulky čtvrtinových čtverců se používaly ke zjednodušení přesného násobení velkých celých čísel ještě ve 20. století, dokud tuto metodu nenahradilo použití počítačů.
Indický matematik Virasena pracoval s konceptem ardhaccheda, což je počet, kolikrát lze číslo tvaru 2n dělit dvěma. Pro přesné mocniny dvou je to logaritmus o tomto základu, což je celé číslo; pro ostatní čísla je nedefinovaný. Popsal vztahy jako vzorec pro součin a také zavedl celočíselné logaritmy se základem 3 (trakacheda) a 4 (caturthacheda).
Michael Stifel vydal v Norimberku v roce 1544 pojednání Arithmetica integra, obsahující tabulku celých čísel a mocnin dvou, která je považována za ranou verzi logaritmické tabulky.
Na konci 16. a začátku 17. století se k přibližnému násobení a dělení používal algoritmus zvaný prostaférese. Ten využíval trigonometrickou identitu
nebo podobnou k převodu násobení na sčítání hodnot zjištěných v tabulkách. Logaritmy jsou však přímočařejší a vyžadují méně práce. S použitím Eulerova vzorce lze ukázat, že obě metody spolu souvisejí.
Od Napiera k Eulerovi
thumb|150px|vpravo|John Napier (1550–1617), objevitel logaritmů