Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.
Formální definice: je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla , a , pro která platí, že .
Příklady a součty Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad:
Vlastnosti
Součet Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako nk) je 1:
Důkaz:
Goldbachova-Eulerova věta Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet přes množinu perfektních mocnin , vyjma čísla 1 je 1:
Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.
Hledání celočíselných mocnin Zjištění, zda je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty přes všechny dělitele , až do . Jestliže tedy dělitelé jsou pak jedna z hodnot musí být rovna jestliže je mocnina.
Tato metoda může být zjednodušena pokud hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud pro složené číslo kde je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako . Minimální hodnota je 2.
Odkazy
Reference
Související články Catalanova věta
Externí odkazy
Kategorie:Teorie čísel