náhled|Perspektivní projekce kulové sféry (z nadhledu). Pro kvalitní vykreslení tvarů a čar byly využity Bézierovy křivky. V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tedy plocha tvořící povrch koule. Sféra je definována jako množina všech bodů, které se nacházejí ve vzdálenosti r (poloměr) od bodu S (střed). Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.
Definice V euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována následovně:
V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru . Pro se také definuje sféra , která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.
Vlastnosti n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi a pro také jednoduše souvislá množina. Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je , obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r dán vztahem
Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché. Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n. Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře. Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (Poincarého hypotéza, jediný ze sedmi problémů tisíciletí, který byl zatím vyřešen). Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů). Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou (paralelizovatelnost má souvislost s oktoniony). Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole, právě když n je liché. 2-sféra může mít strukturu komplexní variety
Otevřené problémy Homotopie sféry nejsou obecně známy. Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám. Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám. Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.
Externí odkazy
Kategorie:Plochy Kategorie:Otevřené problémy v matematice