náhled|Hyperbola jako kuželosečka.
náhled|Ilustrace definice: ohniska (B1, B2); bod hyperboly (P); vzdálenosti ohnisek (d1, d2).
Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.
Hyperbola také tvoří graf funkce v kartézské soustavě souřadnic.
Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.
Matematická vyjádření Implicitní vyjádření
Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek a konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.
Kartézský souřadnicový systém náhled|vpravo|Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou y.
Standardní popis hyperboly: S[m, n] – Střed hyperboly o souřadnicích m, n F1, F2 – ohniska hyperboly A, B – vrcholy hyperboly o1 – hlavní osa hyperboly o2 – vedlejší osa hyperboly p1, p2 – asymptoty hyperboly – délka hlavní poloosy – délka vedlejší poloosy excentricita – délka hlavní osy – délka vedlejší osy X[x, y] – libovolný bod náležící hyperbole Pokud , pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.
Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění Hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou Středová rovnice:
Obecná rovnice:
Rovnice asymptot:
Rovnice tečny v bodě :
Hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou Středová rovnice:
Obecná rovnice:
Rovnice asymptot:
Rovnice tečny v bodě :
Asymptoty rovnoběžné s osami a náhled|Asymptoty totožné s osami x a y: y = 1/xStředová rovnice:
Obecná rovnice: Rovnice asymptot:
Převedení obecné rovnice na středovou Uspořádáme členy v rovnici.
Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.
Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.
Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly. Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou . , , , , ,
Vzájemná poloha hyperboly a přímky Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot – přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant je: D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku D < 0 žádné řešení – přímka je nesečna
Vzájemná poloha hyperboly a bodu Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit: výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly
Polární souřadnicový systém Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:
Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:
Literatura Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, , str. 102–103, 118–121 a 179–181 Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná'', Academia, Praha 2012, , str. 116–117
Související články Geometrický útvar Křivka Parabola (matematika) Elipsa Kružnice Mocninná křivka
Externí odkazy
Vyčerpávající popis hyperboly
Kategorie:Kuželosečky