Sylvesterův zákon setrvačnosti je matematické tvrzení z oboru lineární algebry charakterizující vyjádření reálné kvadratické formy diagonální maticí.
Znění věty Pro každou reálnou kvadratickou formu na prostoru existuje báze, vůči níž má diagonální matici s pouze prvky . Navíc, tato matice je až na pořadí prvků jednoznačná.
Důkaz
Existence Buď matice formy . A je symetrická, takže existuje její spektrální rozklad , kde . Čili je diagonalizace formy. Pro na diagonále provedeme úpravu , kde je diagonální matice s prvky pro a pro .
Jednoznačnost Nechť existují dvě různé diagonalizace pro bázi a prostoru . Buď libovolné a nechť má souřadnice a . Pak
,
.
Platí , protože pro nějakou regulární . Proto mají stejnou hodnost. Ukažme, že nutně . BÚNO nechť . Definujme prostory a . Pak .
Tedy existuje nenulový a pro něj máme z čehož dostaneme a zároveň , což je spor.
Kategorie:Kvadratické formy Kategorie:Teorie matic Kategorie:Matematické věty a důkazy