Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).
Nekonečná číselná posloupnost je každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel.
Konečná posloupnost je každá funkce, jejíž definiční obor je konečná podmnožina všech přirozených čísel. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí. Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrném prostoru a často ji nazýváme aritmetický vektor.
V matematice se pracuje také s nečíselnými posloupnostmi – například posloupnostmi funkcí.
Zadání posloupnosti
Vzorcem pro n-tý člen např. nekonečná posloupnost např. konečná posloupnost
Rekurentně a) je dán první člen a vzorec k výpočtu členu pro každé z množiny N pro všechna z množiny N
b) jsou dány první dva členy a vzorec k výpočtu na základě znalosti a , , pro všechna z množiny N
Výčtem svých členů pro konečnou posloupnost
Vlastnosti posloupností U číselných posloupností (obecněji u posloupností, jejichž oborem hodnot je uspořádaná množina) lze definovat následující vlastnosti:
Posloupnost je rostoucí, právě když pro všechna z množiny N je Posloupnost je nerostoucí, právě když pro všechna z množiny N je Posloupnost je klesající, právě když pro všechna z množiny N je Posloupnost je neklesající, právě když pro všechna z množiny N je
Každá rostoucí posloupnost je neklesající, každá klesající posloupnost je nerostoucí. Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, posloupnost, která je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.
Posloupnost je shora omezená, právě když existuje reálné číslo takové,že pro všechna z množiny N je . Posloupnost je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo takové,že pro všechna z množiny N je . Posloupnost se nazývá omezená, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená. Konečná posloupnost délky je čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost je rostoucí a je klesající bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnostiMAREŠ, Martin. 5. Hradlové sítě, S. 11.
Jestliže se v libovolně malém -okolí bodu d, tzn. v intervalu , nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti , pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti .
Limita
Říkáme, že posloupnost konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. konverguje k 0), diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. diverguje k ), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. ).
Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.
Vybraná posloupnost Je-li posloupnost (obecně reálných) čísel a rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z (jinými slovy, z vybereme některé členy, např. všechny liché).
Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.
Odkazy
Reference
Související články Posloupnost Řada (matematika) Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Cauchyovská posloupnost Fareyova posloupnost Fibonacciho posloupnost Nekonečný součin
Externí odkazy
Kategorie:Nekonečno