Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární).
Reálný případ Uvažujme a její singulární rozklad
kde matice a jsou ortogonální a matice je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí
Vložením šikovně rozepsané jednotkové matice, , na vhodné místo do singulárního rozkladu, získáme hledaný polární rozklad. Možnosti jsou dvě, buď
kde
je symetrická pozitivně semidefinitní (je-li , tj. je-li regulární, pak je symetrická pozitivně definitní) a
je ortogonální. Případně
kde
je opět symetrická pozitivně (semi)definitní.
Komplexní případ Zcela analogicky uvažujme a její singulární rozklad
kde matice a jsou unitární a matice je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí
Polární rozklad lze opět vyjádřit dvěma způsoby, buď
kde
je hermitovská pozitivně semidefinitní (je-li , tj. je-li regulární, pak je hermitovská pozitivně definitní) a
je unitární. Případně
kde
je opět hermitovská pozitivně (semi)definitní.
Rozšíření na obdélníkový případ Je-li matice obdélníková, () a , matice má tedy více sloupců než řádků, lze ji, zcela analogickým postupem jako v předchozích případech zapsat jako součin
kde je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice má ortonormální řádky.
Pokud je , tedy matice má více sloupců než řádků, lze ji zapsat jako součin
kde je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice má ortonormální sloupce.
Matice , respektive je regulární, pokud má matice má lineárně nezávislé řádky, respektive sloupce.
Maticové identity Následující vztahy uvádíme pouze pro komplexní případ, reálný případ je zcela analogický.
Obecně, je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více sloupci než řádky, platí
Je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více řádky než sloupci, platí
Viz definici odmocniny z matice.
Rozklady
představují zároveň Schurovy i Jordanovy rozklady matic a .
Singulární čísla , matice tedy představují vlastní čísla matic a .
Aplikace Polární rozklad (reálné čtvercové regulární matice) nachází uplatnění zejména v klasické mechanice, kde slouží, v maticovém popisu, k oddělení deformace tělesa (reprezentované symetrickou pozitivně definitní maticí) od pohybu tuhého tělesa, přesněji změny souřadného systému (reprezentované ortogonální maticí).
Související články Singulární rozklad Maticová funkce Schurův rozklad Jordanův rozklad
Literatura J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. . (Kapitola 5.8, Polární rozklad a exponenciální tvar čtvercové matice, str. 142-143) M. Fiedler: Speciální matice a jejich užití v numerické matematice. SNTL, Státní nakladatelství technické literatury, edice TKI, Teoretická knižnice inženýra, 1981. (Věta 2.29, str. 63)
Kategorie:Maticové rozklady Kategorie:Teorie operátorů