Vektorový součin je v matematice binární operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár) kolmý k oběma násobeným vektorům a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory. Vektorové násobení není ani komutativní ani asociativní operace.
Značení Vektorový součin vektorů a se obvykle značí jedním z následujících způsobů:
– používáno ve frankofonních zemích
Definice Mějme trojrozměrný reálný vektorový prostor se skalárním součinem, pak pro vektory platí, že vektor je vektorovým součinem vektorů právě když
,
kde je úhel vektorů a a kde je jednotkový vektor k nim kolmý a pro lineárně nezávislé vektory s nimi tvoří pravotočivou bázi.
V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor znázorněn ukazovákem a vektor prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin je ve směru palce.
Vektorový součin lze definovat také pomocí souřadnic. Máme-li vektorový součin , pak složky vektoru lze určit jako:
.
S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic řádu :
lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic:
,
kde množina antisymetrických matic je vzhledem ke komutátoru uzavřená.
Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako:
.
Zobecnění při zachování bilinearity Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu:
.
Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení:
.
Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)
Zobecnění v n-rozměrném prostoru
Vlastnosti náhled|Vektorový součin pro všechny nenulové vektory a všechna platí: Vektorový součin je homogenní funkce, tj. . Vektorový součin není asociativní, ale platí pro něj tzv. Jacobiho rovnost: . Vektorový součin je distributivní vůči sčítání, takže díky homogenitě se jedná o bilineární operaci: . Vektorový součin je antikomutativní, tj.: . Vektorový součin vektorů a je nulový vektor (), právě když jsou násobené vektory lineárně závislé (kolineární). Pro derivaci vektorového součinu vektorových funkcí platí: . Tvoří-li vektory , , (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak:
. V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů a zapsat pomocí determinantu jako: . Výsledek vektorového násobení není vektor, ale tzv. pseudovektor, protože při změně orientace báze vektorového prostoru dostaneme opačný vektor.
Příklad Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:
Výpočet pomocí definice:
Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.
Výpočet pomocí determinantu matice:
kde pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo:
kde i, j, k jsou jednotkové vektory kolineární s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), tj,:
Výpočet v×u je analogický.
Aplikace Moment síly Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly je definován následovně:
,
kde je polohový vektor působiště síly. Podobně vypadá i moment hybnosti :
,
kde značí hybnost hmotného bodu, který má polohu vůči zvolenému počátku souřadnic. Moment síly a moment hybnosti spolu úzce souvisí. Ukáže se to při pokusu o derivování momentu hybnosti podle času:
.
Zde bylo využito výše zmíněného pravidla pro derivaci vektorového součinu. Výraz je v kinematice přesná definice rychlosti tělesa. Podobně tak definuje sílu. Poslední užitá fyzikální rovnost se týká hybnosti. . Na základě těchto opisů lze derivaci momentu hybnosti upravit do tvaru:
,
kde vektorový součin dvou identických vektorů je roven nule, pak dostaneme:
.
Moment síly je tedy časová derivace momentu hybnosti. V praktickém světě se tohoto vztahu dá využít např. v orbitální mechanice. Planeta, která obíhá kolem Slunce tvořícího počátek souřadnic, má nulový moment síly, neboť gravitační síla i polohový vektor mají stejný směr. Moment hybnosti této planety se určí integrováním:
,
kde je integrační konstanta. Jinými slovy , což je pravidlo charakteristické pro 2. Keplerův zákon.
Operátor rotace Další forma vektorového součinu důležitá pro fyziku je operátor rotace. Jedná se o diferenciální operátor, jehož aplikování na vektor má strukturu:
,
kde značí operátor nabla:
.
Rotace se vyskytuje ku příkladu v prvních dvou Maxwellových rovnicích zapsaných v diferenciálním tvaru:
.
Reference
Související články Vektorový prostor Skalární součin Smíšený součin
Externí odkazy
Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Binární operace Kategorie:Bilineární zobrazení