Zkrácené binární kódování je kódování typicky používané pro rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti s konečnou abecedou. Parametrem rozdělení je velikost abecedy n. Jde o obecnější variantu binárního kódování, kde n nemusí být mocninou o základu 2.

Nechť n = 2k+b, pro 0 ≤ b ≤ 2k. Pokud n je mocnina 2, můžeme si vybrat jednu ze dvou možných hodnot pro k; obě vytvoří stejný kód, který je identický se standardním binárním kódem.

Zkrácené binární kódování přiřadí prvním 2k−b symbolům kódová slova o délce k a pak zbývajícím 2b symbolům přiřadí posledních 2b kódových slov délky k+1. Protože všechna kódová slova délky k+1 sestávají z nepoužitého kódového slova délky k, ke kterým byla připojena „0“ nebo „1“ je výsledný kód prefixový.

Příklad s n = 5 Pro abecedu {0, 1, 2, 3, 4}, n = 5 = 22+1 zkrácené binární kódování přiřadí prvním třem symbolům (22-1) kódová slova 00, 01 a 10. Poté přiřadí posledním dvěma symbolům 110 a 111, jsou délky tři, každé z nich obsahuje poslední nepoužité kódové slovo délky dva 11, ke kterému se přidá znak navíc.

Například pro n rovno 5 standardní binární kódování a zkrácené přiřadí tato kódová slova.

Kódovéslovo10 Zkrácenébinární k. Kódové slovo Standardníbinární k. 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 2 0 1 0 2 3 Nepoužito 0 1 1 3 4 Nepoužito 1 0 0 4 5 Nepoužito 1 0 1 Nepoužito 6 3 1 1 0 Nepoužito 7 4 1 1 1 Nepoužito Nejbližší větší mocnina dvou větší než n = 5 je 23 = 8 a tedy u = 2k-n = 8−5 = 3. Budeme tedy mít 3 nepoužitá kódová slova pro standardní binární kódování.

Když chceme poslat hodnotu 0 ≤ x < n, která je jedním z 2k ≤ n ≤ 2k+1 symbolů, tak v kódování existuje takových u = 2k+1−n nepoužitých kódových slov.

Proces zakódování čísla x pro zkrácené binární kódování je takovýto: pokud je x menší než u zakódujte ho pomocí k bitů pokud je x větší nebo rovno u zakódujte hodnotu x+u pomocí k+1 bitu

Příklad s n = 10 Jiný příklad, zakódovat abecedu o velikosti n=10 (čísla mezi 0 a 9) vyžaduje k=4 bitů, ale v takto velké abecedě je 24-10 = 6 nepoužitých kódových slov. Tedy pro všechny vstupní znaky menší než 6 zahodíme první bit, zatímco všechny vstupy větší nebo rovny 6 posuneme o 6 ke konci kódování. (Nepoužitá zakódování nejsou v tabulce.)

VstupníhodnotaPosunHodnotaposunuStandardníbinární k.Zkrácenébinární k. 0 0 0 0000 000  1 0 1 0001 001  2 0 2 0010 010  3 0 3 0011 011  4 0 4 0100 100  5 0 5 0101 101  6 6 12 0110 1100 7 6 13 0111 1101 8 6 14 1000 1110 9 6 15 1001 1111

Pro dekódování načteme prvních k-1 bitů, pokud rozkódováváme hodnotu menší než u, je dekódování hotovo. Pokud ne, načteme další bit (tedy k bitů) a odečteme u od výsledku.

Příklad s n = 7 Nakonec jeden z krajních případů: s n = 7 další mocnina 2 je 8 (skončíme u použití 3 bitů nebo 2 bitů pokud zahodíme nejvyšší bit) a u = 1: VstupníhodnotaPosunHodnotaposunuStandardníbinární k.Zkrácenébinární k. 0 0 0 000 00  1 1 2 010 010 2 1 3 011 011 3 1 4 100 100 4 1 5 101 101 5 1 6 110 110 6 1 7 111 111

Poslední příklad ukazuje, že první nulový bit nemusí znamenat, že výsledný kód je kratší; pokud u < 2k−1 některé delší kódy budou začínat nulovým bitem.

Pokud je n mocnina dvou, pak kódování můžeme provést pro dvě rozdílné hodnoty k. Oba vytvoří stejný výstup; výstupem prvního bude pro u = 2k kód dlouhý k bitů pro všechny vstupy, zatímco výstupem druhého bude pro u = 0 kód o délce k+1 bit.

Odkazy

Reference

Související články Benfordův zákon Golombovo kódování

Kategorie:Kódování