Jacobiho matice je matice parciálních derivací vektorové funkce. Pokud je tato matice čtvercová, nazývá se její determinant Jacobiho determinant (také jacobián). Tento determinant se rozsáhle využívá ve výpočtech vícerozměrných integrálů.
Oba pojmy získaly své jméno od slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho.
Definice Nechť
, Jacobiho maticí nazveme matici následujícího tvaru:
.
Pokud , je Jacobiho matice čtvercová a její determinant se nazývá Jacobiho determinant funkce
.
Vlastnosti Pokud je funkce
v bodě diferencovatelná, pak Jacobiho matice definuje lineární zobrazení , které je nejlepší lineární aproximací funkce v blízkosti bodu . Toto lineární zobrazení je zobecnění derivace a nazývá se derivace nebo diferenciál funkce v bodě .
Jacobiho matice je zobecnění gradientu (a pro je rovna gradientu). Jacobiho matice vlastně vyjadřuje míru změny v daném místě.
Důležité informace o chování funkce nese také Jacobiho determinant. Konkrétně, funkce má v okolí bodu diferencovatelnou inverzní funkci právě tehdy, pokud je Jacobiho determinant v bodě nenulový. S tímto také souvisí dosud nedokázaná Jacobiho domněnka.
Aplikace Jacobiho matice se používá k lineárním aproximacím. Její vlastní čísla a vlastní vektory také určují chování určitých dynamických systémů.
Jacobián je užitečný při substituci ve výpočtech vícerozměrných integrálů.
Příklady
Příklad 1 Mějme funkci určenou vztahem . Potom platí
a . Jacobiho matice je tedy
a Jacobiho determinant se rovná
Příklad 2 Pokusme se nyní vypočítat Jacobián polárních souřadnic. Ty jsou zavedené následujícími vztahy:
, kde a .
Platí tedy:
.
Odkazy Reference
Literatura Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. .
Kategorie:Integrální počet Kategorie:Matice