Burgersova rovnice je jednou ze základních parciálních diferenciálních rovnic mechaniky tekutin. Objevuje se v mnoha partiích aplikované matematiky, jako je například dynamika plynů a modelování dopravního toku. Rovnice je pojmenována po J. M. Burgersovi (1895–1981). Je ekvivalentní Navierově–Stokesově rovnici pro nestlačitelný tok bez tlakového členu.
Pro danou rychlost a koeficient vazkosti je obecný tvar jednorozměrné Burgersovy rovnice (rovněž známé pod pojmem vazká Burgesova rovnice) tvaru:
.
Je-li , Burgersova rovnice se stává nevazkou Burgersovou rovnicí:
což je jeden z typů rovnic, v jejichž řešení se mohou vyskytnout nespojitosti (rázové vlny). Předešlá rovnice je advekční formou Burgersovy rovnice. Konzervativní forma je tvaru:
Řešení
Nevazká Burgersova rovnice
Nevazká Burgersova rovnice je parciální diferenciální rovnicí prvního řádu. Její řešení může být zkonstruováno pomocí metody charakteristik. Tato metoda říká, že pokud je řešením obyčejné diferenciální rovnice
pak
je konstantní vzhledem k . Tudíž je řešením soustavy obyčených diferenciálních rovnic:
Řešení této soustavy je vyjádřeno pomocí počáteční hodnoty výrazem:
Při substituci , kdy platí , můžeme zapsat soustavu ve tvaru
Celkově:
Toto je implicitní vztah určující řešení nevazké Burgesovy rovnice za předpokladu, že se jednotlivé charakteristiky vzájemně neprotínají. Pokud k průniku charakteristik dojde, pak neexistuje klasické řešení rovnice.
Vazká Burgersova rovnice
Vazká Burgersova rovnice může být linearizována Coleovou–Hopfovou transformací
z čehož dostáváme rovnici tvaru
která může být přepsána jako
kde je libovolná funkce. Pokud poslední člen vymizí, obdržíme difuzní rovnici
Můžeme tedy řešit počáteční úlohu:
Reference
Externí odkazy Burgers' Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations. Burgers' Equation at NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia. Burgers shock-waves and sound in a 2D microfluidic droplets ensemble Phys. Rev. Lett. 103, 114502 (2009).
Kategorie:Parciální diferenciální rovnice