LU rozklad matice je způsob, jak zapsat tuto matici jako součin dvou dalších matic, z nichž jedna (L z anglického lower) je v dolním trojúhelníkovém tvaru a má na celé hlavní diagonále číslo jedna a druhá (U z anglického upper) je v horním trojúhelníkovém tvaru a na hlavní diagonále má pouze nenulové prvky.
Definice Mějme regulární čtvercovou matici nad libovolným tělesem, u které není třeba při Gaussově eliminaci prohazovat řádky. Pak existují také regulární matice a , jsou určeny jednoznačně a platí pro ně následující tvrzení
je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na celé hlavní diagonále. je horní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na hlavní diagonále. Tomuto součinu říkáme LU rozklad matice . http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~sir/la/LinAlg/skripta.pdf
Pokud nemáme matici takovou, u které není třeba prohazovat řádky, pak lze využít rozklad , kde je permutační matice (taková, která vznikla z jednotkové postupnou záměnou sloupců). Taková matice nejdříve prohází řádky matice a zbytek rozkladu zůstane stejný.
Využití Během výpočtu soustavy může nastat situace, kdy se podařila najít dolní trojúhelníková matice i horní trojúhelníková matice tak, že .
Potom lze nahradit v této soustavě za a označit . Z toho plyne, že a .
To je užitečně, pokud máme sérii výpočtů, ve které se pravá strana v jednotlivých případech mění, ale levá strana zůstává stejná. Toto řešení pomocí LU rozkladu je časově výhodnější než opakované počítání stejné soustavy.http://petr.olsak.net/bilin/lurozklad.pdf
Příklad
.http://ivankuckir.blogspot.cz/2010/09/lu-rozklad.html
Odkazy
Reference
Související články Matice Soustava lineárních rovnic QR rozklad Jordanův rozklad Regulární matice Lineární algebra Permutace
Externí odkazy
Kategorie:Maticové rozklady