náhled|Příklad slabě antisymetrické relace
Binární relace na množině , ve které vztah a zároveň (neboli ) neplatí pro žádné , se nazývá antisymetrická nebo též slabě antisymetrická.. pro vůbec žádné , se nazývá silně antisymetrická nebo též asymetrická.
„Silně antisymetrická“ tedy znamená „slabě antisymetrická a zároveň ireflexivní“. Slovo „slabě“ se vynechává tam, kde nehrozí nedorozumění: u ireflexivních relací, kde pojem silné a slabé antisymetrie značí totéž, nebo naopak u reflexivních relací, které nikdy nemohou být silně antisymetrické (s výjimkou prázdné relace na prázdné množině).
Např. na přirozených číslech Relace , tj. „čísla jsou si rovna nebo spolu sousedí“ není ani slabě antisymetrická, neboť do této relace patří jak dvojice , tak . Jinými slovy, čísla a jsou spolu v relaci „obousměrně“. Běžná neostrá nerovnost je slabě antisymetrická: pokud např. , nemůže zároveň platit . Ovšem není silně antisymetrická, protože je reflexívní: . Běžná ostrá nerovnost je příkladem silně antisymetrické relace.
Typickým příkladem antisymetrických relací jsou Neostrá částečná uspořádání neboli reflexivní antisymetrické a tranzitivní binární relace. Ostrá částečná uspořádání neboli ireflexivní antisymetrické a tranzitivní binární relace.
Slabá antisymetrie není opakem symetrie . Existují relace, které jsou jak symetrické, tak slabě antisymetrické (rovnost), existují i relace, které nejsou ani symetrické, ani slabě antisymetrické (dělitelnost v okruhu celých čísel), existují relace, které jsou symetrické, ale nejsou slabě antisymetrické (dělení modulo p, kde p je prvočíslo), a existují relace, které nejsou symetrické, ale jsou slabě antisymetrické („je menší nebo rovno“).
Odkazy
Reference
Literatura
Kategorie:Vlastnosti matematických relací Kategorie:Teorie uspořádání Kategorie:Teorie množin