Hypotéza singulárních kardinálů (někdy také označovaná zkratkou SCH) je tvrzení z oboru teorie množin, které (pokud je přijato) zjednodušuje výpočet kardinální mocniny.
Toto tvrzení bylo formulováno R.Solovayem v roce 1974 v následujícím tvaru:
Formulace hypotézy Pro každý singulární kardinál platí
je zápis pro funkci alef používanou pro označování nekonečných kardinálů je zápis pro funkci gimel je zápis pro kofinál kardinálního čísla
Hypotézu lze ekvivalentně formulovat také: Jestliže pro nekonečné kardinální číslo platí nerovnost , pak , kde značí následníka .
Postavení hypotézy v teorii množin Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu – tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není. SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF – to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence – SCH je tedy „slabší“ tvrzení. Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.
Význam hypotézy Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li a libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí: , pokud , pokud a , pokud a
Související články Kardinální aritmetika Funkce gimel Zobecněná hypotéza kontinua Singulární kardinál
Kategorie:Tvrzení nezávislá na ZF