Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.
Definice Jsou-li a dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem a definujeme vztahem , tj. jako součet všech kardinálních mocnin s exponentem menším než .
Motivace pro zavedení Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:
Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny s mohutností přesně a množina všech podmnožin množiny s mohutností menší než
Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina: Pokud platí a (symbol je nejmenší kardinální číslo větší než ), potom
Příklad použití V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.
Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se '''slabou kardinální mocninou:
Je-li singulární kardinál, takové, že pro každé platí , potom
Je-li singulární kardinál a pro každé existuje , pro které platí , potom
Související články Kardinální aritmetika Funkce alef Funkce gimel Zobecněná hypotéza kontinua Hypotéza singulárních kardinálů
Kategorie:Kardinální čísla