Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence je v matematice kritérium pro určování, zda nekonečná řada funkcí konverguje stejnoměrně a absolutně. Používá se na řady, jejichž členy jsou funkce s reálnými nebo komplexními hodnotami, a je analogií srovnávacího kritéria pro určování konvergence řad reálných nebo komplexních čísel.
Tvrzení Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence. Předpokládejme, že {fn} je posloupnost reálných nebo komplexních funkcí definovaných na množině A a že existuje posloupnost kladných čísel {Mn} taková, že
Pak řada
konverguje absolutně a stejnoměrně na A.
Poznámka: Výsledek se často používá v kombinaci s limitní větou pro stejnoměrnou konvergenci. Společně říkají, že pokud kromě výše uvedených podmínek je množina A topologickým prostorem a funkce fn jsou spojité na A, pak řada konverguje ke spojité funkci.
Zobecnění Obecnější verze Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence platí, jestliže cílová množina funkcí {fn} je jakýkoli Banachův prostor, v tomto případě výraz
může být nahrazen výrazem , kde je norma na Banachově prostoru. Pro příklad použití tohoto kritéria na Banachův prostor viz článek Fréchetova derivace.
Důkaz Uvažujme posloupnost funkcí
Protože řada konverguje a pro každé , pak podle Cauchyova kritéria konvergence
Pro zvolené platí
Tedy posloupnost částečných součtů řady konverguje stejnoměrně. Z definice proto řada konverguje stejnoměrně.
Pozn: Nerovnost (1) vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti.
Odkazy
Reference
Související články Stejnoměrná konvergence Příklad Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence Karl Weierstrass
Literatura
Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Kritéria konvergence