Eulerův vzorec pro komplexní čísla lze v integrálním počtu použít pro vyhodnocení integrálů, které obsahují goniometrické funkce. Použitím Eulerova vzorce můžeme zapsat libovolnou trigonometrickou funkci jako komplexní exponenciální funkci obsahující a a tu pak integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití trigonometrických identit nebo integrace per partes, a je dostatečně silná pro integraci libovolné racionální funkce obsahující trigonometrické funkce.
Eulerův vzorec Eulerův vzorec:Weisstein, Eric W. (June 14 2017)
Substitucí za dostaneme rovnici
protože funkce kosinus je sudá funkce a sinus lichá. Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit sinus a kosinus:
Příklady
První příklad Uvažujme integrál
Standardní postup řešení tohoto integrálu je použít vzorec pro poloviční úhel pro zjednodušení integrandu. Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu:
Nyní je možné se vrátit zpět k reálným číslům použitím vzorce . Případně můžeme integrovat komplexní exponenciály a k trigonometrickým funkcím se již nevracet:
Druhý příklad Uvažujme integrál
Řešení tohoto integrálu použitím trigonometrických identit je poměrně komplikované, ale při použití Eulerovy identity je docela jednoduché:
Nyní můžeme buď integrovat přímo nebo můžeme nejdřív provést substituci výrazu . Obě metody dávají
Použití reálných částí Kromě přímého využití Eulerovy identity lze často vhodně využít reálné části komplexních výrazů. Pokud máme například integrál
Protože je reálná část , víme, že
Integrál na pravé straně lze snadno vypočítat:
Odtud postupně dostaneme
Zlomky Obecně lze tuto techniku použít pro vyhodnocení libovolného zlomku, který obsahuje trigonometrické funkce. Například při řešení integrálu
dostaneme použitím Eulerovy identity
Pokud nyní provedeme substituci , výsledek je integrál racionální funkce:
který můžeme řešit pomocí rozkladu na parciální zlomky.
Odkazy
Reference
Související články Trigonometrická substituce Weierstrassova substituce Eulerova substituce
Kategorie:Integrální počet