Dvojný integrál (též dvourozměrný integrál) je integrál z funkce dvou proměnných. Používá se hlavně k výpočtu objemu pod prostorovou křivkou. Definičním oborem těchto funkcí je rovina nebo její část. Dvojný integrál se proto počítá na nějaké rovinné oblasti. Objem pod prostorovou křivkou funkce na oblasti se zapisuje jako
Výpočet Dvojný integrál se převádí na integrál dvojnásobný, tedy dva jednoduché integrály.
Dvojný integrál na obdélníku náhled|Obdélník definovaný jako Nejjednodušší rovinná oblast pro výpočet integrálu je obdélník. Obdélník lze definovat pomocí dvourozměrného intervalu ve tvaru , kde je interval mezi dvěma body na ose a na ose . Jedná se tedy o kartézský součin dvou intervalů. Je tedy přímo určeno, odkud kam jde na obou osách.
Dvojný integrál na obdélníku se spočítá tak, že se přepíše na dvojnásobný integrál, kde hranice jednotlivých integrálů budou podle intervalů popisujících obdélník. Na obdélníku nezáleží na pořadí jednotlivých hranic, ale je nutné ve správném pořadí napsat a .
Dvojný intergál na oblasti je tedy:
U integrálu, jehož hranice popisují osu , je třeba napsat . Stejně je tomu i u osy .
Dvojný integrál na libovolné oblasti náhled|Plocha mezi křivkami funkcí a Dvojný integrál na libovolné oblasti se spočítá pomocí Fubiniovy věty. Ta říká, že dvojný integrál lze rozepsat na dva jednoduché integrály, jejichž hranicemi budou funkce. Je ale nutno dodržet, že vnější integrál bude mít jako hranice číselné hodnoty, jinak by nakonec nevyšlo číslo, ale nějaká funkce.
Pro oblast platí, že
kde a omezují osu . Opět je nutno dodržet správné pořadí a – popisuje-li integrál osu , musí u něj být , a naopak. Stejně by šlo nadefinovat Fubiniovu větu i pro funkce, jejichž definičním oborem je osa a oborem hodnot osa .
Pro oblast s omezením na ose body a platí, že
Příklad Dvojný integrál na oblasti mezi křivkami a (viz obrázek) z funkce . Oblast je na ose ohraničena těmito dvěma křivkami. Na ose jde od 0 do 2. Dvojný integrál by se tedy rozepsal na dvojnásobný například takto:
Definice Na obdélníku náhled|Obdélníková integrační oblast na definičním oboru funkce dvou proměnných rozdělená na menších obdélníků Podobně jako integrál jednoduchý se dvojný integrál definuje jako rozdělení objemu pod prostorovou křivkou na nekonečně malé segmenty. Definiční obor se rozdělí na několik menších obdélníků a nad nimi se počítá přibližný objem. Objem pod celou křivkou se tedy rozdělí na několik malých kvádrů, jejichž objem už lze spočítat jednoduše. Po sečtení objemů všech těchto kvádrů vyjde přibližný objem právě pod křivkou té funkce.
Obdélník se na ose rozdělí na sloupců a na ose na řádků. Objem kvádru na jednom obdélníčku se spočítá vynásobením jeho strany, tedy jako .
Hodnota na ose se určí dvěma způsoby:
Horní součet – za je dosazována nejvyšší možná hodnota, které funkce nabývá na daném obdélníku. Horní součet bude určitě větší nebo roven přesnému objemu pod prostorovou křivkou. Spodní součet – za je dosazována nejnižší možná hodnota, které funkce nabývá na daném obdélníku. Spodní součet bude určitě menší nebo roven přesnému objemu pod prostorovou křivkou.
Jestliže se minimální hodnota označí a maximální , pak platí, že
kde označuje jeden obdélník.
Součet objemu všech kvádrů nad obdélníky se zapíše jako
kde značí spodní součet, součet horní a způsob dělení obdélníku. Z definice vyplývá, že pro integrál na původním obdélníku platí:
Na čím menší dílky se původní obdélník rozdělí, tím přesněji budou kvádry opisovat tvar dané prostorové křivky. Když se tedy rozdělí obdélník na nekonečně mnoho malých dílků, vyjde přesně tento objem.
Na libovolné oblasti Nechť je charakteristickou funkcí množiny . Pak platí, že
Omezená množina je Jordanovsky měřitelná množina, pokud pro ni existuje nějaký obdélník takový, že je integrovatelná na obdélníku .
Mějme Jordanovsky měřitelnou množinu a ohraničenou funkci . Pak je funkce integrovatelná na množině , pokud je pro nějaký obdélník integrovatelná funkce
na obdélníku . Potom platí, že
Vlastnosti
Pokud je míra množiny nula, pak i .
Pokud a míra množiny je nula, pak .
Transformace dvojného integrálu Dvojné integrály lze transformovat za účelem zjednodušení jejich hranic (ne integrované funkce). Transformace se provede tak, že se za a dosadí nějaké dvě funkce v jiných dvou proměnných. Následně se tyto funkce dosadí do integrálu a přepočítají se hranice. Aby bylo možné integrovat podle těchto nových proměnných, je třeba vnitřek integrálu vynásobit absolutní hodnotou jakobiánu.
Jakobián funkce dvou proměnných se spočítáme jako determinant 2×2 takto:
kde jsou parciální derivace těchto funkcí.
Dilatace Dilatace je natažení nebo smrštění, tedy něco jako změna měřítka grafu. Za každou z proměnných se dosadí nějaký násobek nových proměnných.
jelikož jakobián vyjde .
Posunutí Posunutí je transformace, kdy se každá proměnná pouze posune o určitou hodnotu. Jakobián vyjde 1.
Polární souřadnice náhled|Polární souřadnice Polární souřadnice jsou typickou transformací, počítá-li se integrál na nějaké části kruhu. Bod se polárními souřadnicemi popíše jako vzdálenost od počátku (zpravidla se značí – ró) a úhel ( – fí) – viz obrázek. Z definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici lze vyvodit, že
je nějaká nezáporná hodnota a je nějaký úhel od 0 do 360°, tedy 2π. Jakobián vyjde
Jelikož je nezáporné, absolutní hodnota z jakobiánu je jen .
Při přepisu na dvojnásobný integrál se jako hranice uvede právě úhel a poloměr . Například integrál na kruhu s poloměrem :
Kde a . Jelikož přímo říkám, odkud kam která proměnná jde, jedná se o integrál na obdélníku.
Polární souřadnice lze zobecnit na libovolně protaženou či smrštěnou kružnici (tedy elipsu) nebo na kružnici, která nemá střed v počátku, tak, že se v jednom kroku použije jak transformace do polárních souřadnic, tak dilatace a posunutí:
Využití Pomocí dvojného integrálu se kromě objemu pod prostorovou křivkou dá spočítat i obsah rovinného obrazce. Počítá-li se integrál z nějaké funkce na nějaké oblasti, znamená to, že se oblast vytáhne do výšky, dokud nedosáhne příslušné funkce. Po vytažení rovinného útvaru do výšky 1 bude obsah jeho shodný s objemem takto vytvořeného tělesa (budou se lišit jednotky). Obsah rovinné oblasti je tedy:
Lze také pomocí dvojných integrálů spočítat povrch prostorové křivky. Pro výpočet povrchu prostorové křivky funkce na oblasti platí následující vztah:
kde je parciální derivace funkce podle a je parciální derivace podle .
Související články Integrál Integrální počet Vícerozměrný integrál
Kategorie:Integrální počet Kategorie:Matematické symboly