Kuratowského axiomy uzávěru je sada axiomů v topologii a příbuzných oblastech matematiky, které lze použít pro definici topologického prostoru na množině. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí otevřené množiny. Axiomy formalizoval Kazimierz Kuratowski, a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné Wacław Sierpiński a António Monteiro.
Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem operátoru vnitřku množiny.
Definice
Kuratowského operátory uzávěru a jejich zeslabení Nechť je libovolná množina a její potenční množina. Kuratowského operátor uzávěru je unární operace s následujícími vlastnostmi:
Důsledkem toho, že zachovává binární sjednocení, je
Pokud rovnost v [K4] nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom [K4''] (subaditivity):
pak je dobře vidět, že splnění axiomů [K4'] a [K4''] je ekvivalentní s [K4] (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).
uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny , . Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá T1-prostory, v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně topologickým T1-prostorům díky obvyklé korespondenci (viz níže).
Pokud vynecháme požadavek [K3], pak axiomy definují Čechův uzávěrový operátor. Pokud vynecháme [K1], pak operátor vyhovující [K2], [K3] a [K4'] se nazývá Mooreho uzávěrový operátor. Dvojici nazýváme Kuratowského, Čechův nebo Mooreův prostor uzávěrů podle toho, které axiomy splňuje.
Alternativní axiomatizace Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin:
Lze dokázat, že axiomy [K1]–[K4] vyplývají z této podmínky:
Zvolme . Pak nebo . Z toho okamžitě plyne [K1]. Zvolme libovolné a . Pak použitím axiomu [K1], , z čehož plyne [K2]. Zvolme a libovolné . Pak použitím axiomu [K1], , což je [K3]. Zvolme libovolné . Použitím axiomů [K1]–[K3] odvodíme [K4].
alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy [K2]–[K4]:
Axiom [K1] je nezávislý na [M] : skutečně, pokud , operátor definovaný přiřazením konstanty splňuje [M] ale nezachovává prázdnou množinu, protože . Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující [M] je Mooreho uzávěrový operátor.
M. O. Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu [M], ze která vyplývají axiomy [K2]–[K4]:
Analogické struktury
Operátory vnitřku, vnějšku a hranice Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je Kuratowského operátor vnitřku, což je zobrazení vyhovující následujícím požadavkům:
Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou izotonní, tj. vyhovují [K4'], a díky intenzivitě [I2] je možné rovnost v [I3] oslabit na jednoduchou inkluzi.
Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného operátoru komplementu na , zobrazení zobrazující . Toto zobrazení je ortokomplementem na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje De Morganovým zákonům: pokud je libovolná množina indexů a , pak
Použitím těchto zákonů a definičních vlastností můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace (a ). Každý výsledek získaný pomocí lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace převést na výsledek používající .
dále popisuje analogické axiomy pro Kuratowského operátory vnějšku a Kuratowského operátory hranice, který relací a zavádějí také Kuratowského uzávěry.
Abstraktní operátory
Všimněte si, že axiomy [K1]–[K4] lze upravit, aby definovaly abstraktní unární operaci na obecném omezeném svazu , formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy [I1]–[I4]. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici zobecněné topologie na svazu.
Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor na libovolné uspořádané množině .
Spojitost s jinými axiomatizacemi topologie
Indukce topologie z uzávěru Uzávěrový operátor přirozeně zavádí topologii takto: Nechť je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina je uzavřená vůči Kuratowského operátoru uzávěru právě tehdy, když je pevným bodem uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je stabilní při použití operátoru , tj. . Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám:
Všimněte si, že, díky idempotenci [K3], můžeme stručně psát .
[T1] díky extenzivitě [K2], a protože uzávěr převádí potenční množinu na sebe samu (tj. obrazem jakékoli podmnožiny je podmnožina ), máme . Tedy . Zachování prázdné množiny [K1] vyplývá z .
[T2] nechť dále je libovolná množina indexů a nechť je uzavřená pro každé . Z extenzivity [K2], . Také díky izotoničnosti [K4'], pokud pro všechny indexy , pak pro všechna , z čehož plyne . Proto, , význam .
[T3] Konečně nechť je konečná množina indexů a nechť je uzavřená pro každé . Ze zachování binárního sjednocení [K4] a použitím matematické indukce podle počtu podmnožin, z nichž vezmeme sjednocení, dostáváme . Tedy .
Indukce uzávěru z topologie Opačně, je-li dána rodina vyhovující axiomům [T1]–[T3], je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud a je horní množinou vůči inkluzi, pak
definuje Kuratowského operátor uzávěru na .
[K1] Protože , omezuje na průnik všech množin v rodině ; ale podle axiomu [T1] je , takže průnik se zcvrkne na prázdnou množinu a dostáváme [K1].
[K2] Z definice plyne, že pro všechny , a tedy musí být obsažena v průniku všech takových množin. Odtud dostáváme extenzivitu [K2].
[K3] Všimněte si, že pro všechny , rodina obsahuje samotný jako minimální prvek vzhledem k inkluzi. Tedy , což je idempotence [K3].
[K4’] Nechť : pak , a tedy . Protože druhá rodina může obsahovat více prvků než první, najdeme , což je izotoničnost [K4']. Všimněte si, že z izotoničnost plyne a , který současně znamená .
[K4] Nakonec vezmeme určité . Z axiomu [T2] plyne ; navíc, axiom [T2] vyplývá, že . Díky extenzivitě [K2] máme a , takže . Ale , tak, že všechno ve všech . Protože je minimálním prvkem vzhledem k inkluzi, najdeme . Bod 4 zajišťuje aditivita [K4].
Přesná korespondence mezi strukturami Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na , a je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících [T1]–[T3], pak takový, že je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení .
Nejdříve dokážeme, že , operátor identity na . Pro daný Kuratowského uzávěr , definuje ; pak, pokud jeho primed uzávěr je průnik všech -stabilní množiny, které obsahuje . Jeho neprimed uzávěr vyhovuje tento popis: díky extenzivitě [K2] máme , a díky idempotenci [K3] máme , a tedy . Nyní nechť taková, že : z izotoničnosti [K4'] dostáváme , a protože docházíme k závěru, že . Tedy je minimálním prvkem vzhledem k inkluzi, z čehož plyne .
Nyní dokážeme, že . Pokud a je rodina všech množin, které jsou stabilní vůči , dostáváme, pokud oba a . Nechť : tedy . Protože je průnik libovolné podrodiny , a druhá je uzavřená vůči libovolným průnikům podle [T2], pak . Opačně, pokud , pak je minimální nadmnožina , která je obsažena v . Ale to je triviálně samotné , z čehož plyne .
Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci na kolekci všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje ; toto rozšíření je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na indukují také topologii na . To však znamená, že už není bijekcí.
Příklady
Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor , můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny jako množinu , tj. průnik všech uzavřených množin které obsahují . Množina je nejmenší uzavřenou množinou obsahující , a operátor je Kuratowského operátor uzávěru. Pokud je jakákoli množina, operátory takové, že jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí indiskrétní topologii , zatímco druhý zavádí diskrétní topologii .
Vezmeme libovolné , a nechť je takové, že pro všechny . Pak definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin se shoduje s , rodinou všech podmnožin, které obsahují . Když , znovu získáme diskrétní topologii (tj. , jak je vidět z definice). Pokud je nekonečné kardinální číslo takové, že , pak operátor takový, ževyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům.Důkaz pro případ lze nalézt v Pokud , tento operátor zavádí kofinitní topologii na ; pokud , pak zavádí ko-spočetnou topologii.
Vlastnosti Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) Galoisova korespondenci , za předpokladu, že chápeme jako množinu uspořádanou inkluzí, a jako uspořádaná podmnožina . Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny a , právě tehdy, když . Pokud je podrodina , pak Pokud , pak .
Topologické koncepty používající uzávěr
Zjemnění a podprostory Dvojice Kuratowského uzávěrů takových, že pro všechny indukuje topologii takovou, že , a naopak. Jinými slovy dominuje právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně . Například jasně dominuje ( druhý pouze je identity na ). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí s rodinou obsahující komplementy všech členů, pokud je na definováno částečné uspořádání pro všechny a je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.
V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na A: , pro všechny .
Spojitá zobrazení, uzavřená zobrazení a homeomorfismy Funkce je spojitá v bodě právě tehdy, když , a všude spojitá právě tehdy, když pro všechny podmnožiny . Zobrazení je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze, a je homeomorfismem právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. právě tehdy, když platí rovnost.
Oddělovací axiomy Nechť je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak
je T0-prostor právě tehdy, když z plyne ; je T1-prostor právě tehdy, když pro všechny ; je T2-prostor právě tehdy, když z vyplývá, že existuje množina taková, že a zároveň , kde je operátor množinového doplňku.Důkaz je uveden v tomto dokumentu.
Blízkost a oddělenost Bod je blízký k podmnožině , pokud To lze použít pro definici relace proximity pro body a podmnožiny dané množiny.
Dvě množiny jsou oddělené právě tehdy, když . Prostor je souvislý právě tehdy, když jej nelze zapsat jako sjednocení dvou oddělených podmnožin.
Odkazy
Poznámky
Reference
Související články Topologický prostor
Externí odkazy Alternativní charakterizace topologických prostorů
Kategorie:Obecná topologie Kategorie:Topologické prostory Kategorie:Matematické axiomy