Eulerův–Maclaurinův vzorec je v matematice vzorec pro rozdíl mezi integrálem a sumou tento integrál aproximující. Lze jej použít pro aproximaci integrálů konečnými součty nebo opačně pro vyhodnocení konečných součtů a nekonečných řad pomocí integrálů a numerické řešení úloh infinitezimálního počtu. Z tohoto vzorce je odvozeno mnoho asymptotických rozvojů, a jeho bezprostředním důsledkem je Faulhaberův vzorec pro sumu mocnin.
Vzorec objevili okolo roku 1735 nezávisle Leonhard Euler a Colin Maclaurin. Euler jej potřeboval pro výpočty pomalu konvergujících nekonečných řad, zatímco Maclaurin jej používal pro vypočet integrálů. Později byl zobecněn na Darbouxův vzorec.
Vzorec Pokud a jsou přirozená čísla a je reálná nebo komplexní spojitá funkce s reálným parametrem na intervalu , pak integrál
lze aproximovat součtem (nebo naopak)
(viz obdélníková metoda). Eulerův–Maclaurinův vzorec poskytuje výrazy pro rozdíl mezi součtem a integrálem s použitím vyšších derivací vyčíslených v koncových bodech intervalu a .
Explicitně pro libovolné kladné celé číslo a libovolnou funkci , která je krát diferencovatelná na intervalu , platí
kde je -té Bernoulliho číslo (s ) a je chybový člen, který závisí na , , , a a obvykle je pro vhodné hodnoty malý.
Vzorec se často píše tak, že dolní index nabývá pouze sudých hodnot, protože lichá Bernoulliho čísla jsou nula kromě pro :
nebo alternativně
Zbytkový člen
Protože integrál obvykle není přesně roven součtu, obsahuje vzorec zbytkový člen. Vzorec lze odvodit opakovanou aplikací integrace per partes na sebe navazujících intervalech pro . Hraniční členy v těchto integracích dávají hlavní členy vzorce, a zbylé integrály tvoří zbytkový člen.
Zbytkový člen lze přesně vyjádřit pomocí periodizované Bernoulliho funkce . Bernoulliho polynomy je možné definovat rekurzivně vztahem a, pro ,
Periodizovaná Bernoulliho funkce je definována vztahem
kde označuje největší celé číslo menší nebo rovné , takže vždy leží v intervalu .
S touto notací je zbytkový člen roven
Pro lze ukázat, že
kde je Riemannova funkce zeta; jednou z možností, jak tuto nerovnost dokázat, je použít Fourierovu řadu pro polynomy . Meze jsou dosaženy pro sudé , pokud . Člen lze pro lichá vynechat, ale důkaz je v tomto případě složitější. Pomocí této nerovnosti lze velikost zbytkového členu odhadnout jako
První členy Bernoulliho čísla od do jsou . Proto první členy Eulerova–Maclaurinova vzorce jsou:
Aplikace
Basilejský problém Basilejský problém je spočítat sumu
Euler v roce 1735 vypočítal tento součet na 20 desítkových míst pomocí několika málo členů Eulerova–Maclaurinova vzorce. To jej pravděpodobně přesvědčilo, že součet se rovná , což ve stejném roce dokázal.
Součty obsahujícím polynom
Je-li je Polynom a je dostatečně velké, pak zbytkový člen bude mít nulovou hodnotu. Pokud například , můžeme zvolit po zjednodušení dostaneme
Aproximace integrálů Vzorec poskytuje prostředek pro aproximaci integrálu na omezeném intervalu. Nechť jsou koncové body intervalu integrace. Zvolíme – počet bodů použitých pro aproximaci, takže velikost kroku bude
a , tedy a . Dostáváme
Tento vzorec můžeme chápat jako rozšíření lichoběžníkového pravidla o opravné členy. Tento asymptotický rozvoj obvykle nekonverguje – existuje určité , závisející na a , takové, že členy od řádu rychle rostou. Na zbytkový člen je tedy třeba dávat velký pozor.
Eulerův–Maclaurinův vzorec se používá také pro podrobnou analýzu chyb při numerické integraci. Vysvětluje vynikající výkonnost lichoběžníkové metody pro hladké periodické funkce a používá se v určitých extrapolačních metodách. Clenshawova-Curtisova kvadratura je v zásadě substituce, která převádí libovolný integrál na integrály periodických funkcí, kde je Eulerův–Maclaurinův přístup velmi přesný (v tomto určitém případě má Eulerův–Maclaurinův vzorec tvar diskrétní kosinové transformace). Tato technika se někdy nazývá periodizační transformace.
Asymptotický rozvoj součtů Při výpočtech asymptotických rozvojů součtů a řad je obvykle nejužitečnější tento tvar Eulerova–Maclaurinova vzorce:
kde a jsou celá čísla. Rozvoj zůstává často platný dokonce i po limitním přechodu , nebo obou. V mnoha případech lze integrál na pravé straně vyčíslit v uzavřeném tvaru pomocí elementárních funkcí, přestože součet na levé straně takto vyjádřit nelze. Pak lze pomocí elementárních funkcí vyjádřit všechny členy asymptotické řady. Například
Zde je levá strana rovna , jmenovitě polygamma funkci prvního řádu definované vztahem
Gama funkce je rovna , je-li je přirozené číslo. Dostáváme asymptotický rozvoj pro . Naopak tento rozvoj slouží jako východisko pro jedno z odvození přesného odhadu chyby ve Stirlingově vzorci pro funkci faktoriál.
Příklady Je-li celé číslo větší než 1, dostáváme:
Pokud sloučíme konstanty do hodnoty Riemannovy funkce zeta, můžeme asymptotický rozvoj zapsat ve tvaru:
Pro se výraz zjednoduší na
nebo
Pro dává odpovídající technika asymptotický rozvoj harmonických čísel:
kde je Eulerova konstanta.
Důkazy
Odvození matematickou indukcí Následující důkaz uvádí Apostol.
Bernoulliho polynomy a periodické Bernoulliho funkce pro byly zavedeny výše.
Prvních několik Bernoulliho polynomů je
Hodnoty jsou Bernoulliho čísla . Pro platí
a pro ,
Funkce mají na intervalu stejnou hodnotu jako Bernoulliho polynomy a jsou periodické s periodou 1. Navíc jsou, kromě , také spojité. Tedy,
Pro celé číslo uvažujme integrál
kde
Integrací per partes dostaneme
Použitím , a sečtením výše uvedených výrazů od do , dostaneme
Přičtením k oběma stranám a přeskupením členů dostaneme
Výsledkem je sumační vzorec pro . Pro pokračování indukce aplikujeme integraci per partes na chybový člen:
kde
Výsledek integrace per partes je
Sečtením od do a substitucí za chybový člen nižšího řádu vede ke vzorci pro :
Celý postup lze opakovat. Tímto způsobem dostaneme důkaz Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce, který lze formalizovat matematickou indukcí, při níž indukční krok využívá integraci per partes a identit pro periodické Bernoulliho funkce.
Odkazy
Reference
Literatura
Související články Cesàrova sumace Eulerova sumace Gaussův–Kronrodův vzorec pro numerickou integraci Darbouxův vzorec Eulerova–Booleova sumace
Externí odkazy
Kategorie:Teorie aproximace Kategorie:Asymptotické chování Kategorie:Hilbertův prostor Kategorie:Numerická integrace Kategorie:Sumační metody vzorec, Eulerův–Maclaurinův