V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.
Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.
Definice a značení Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic a je definován výrazem:
Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze . Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.
Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic a je dán výrazem:
Pruh značí komplexně sdružené číslo.
Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili
ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.
Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic a někdy zapisuje .
Vztak k Hadamardovu součinu Jsou-li a reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.
Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené ""), pak pro
a platí
Odtud plyne přímo .
Frobeniova norma Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:
Ukázky
Reálné matice Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu
a
je roven
Komplexní matice
Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu
a
platí
zatímco
Frobeniův skalární součin matice se sebou samou a součin se sebou samou jsou
a .
Vlastnosti Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:
a
a také semilineární v druhém argumentu, tedy.
a .
Dále je hermitovská forma, neboli
,
a také pozitivně definitní:
a .
Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty .
Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.
Reprezentace pomocí stopy Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice
,
kde je matice transponovaná k . Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:
,
kde je hermitovská transpozice matice .
Přesun mezi argumenty Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny a :
.
Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny a :
.
Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.
Invariance Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic
.
Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic platí obdobně následující.
.
Vlastnosti Frobeniovy normy Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.
.
Z nerovnosti vyplývá odhad
.
V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.
Odhad přes singulární hodnoty Jsou-li singulární hodnoty a singulární hodnoty s , pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad
,
Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.
Odkazy
Reference
Literatura
Související články
Bilineární forma Cauchyho-Schwarzova nerovnost Norma Skalární součin Stopa matice
Kategorie:Teorie matic Kategorie:Bilineární zobrazení