náhled| Ukázka 2-násobně dokonalého čísla 6 s použitím Cuisenaire rods Násobně dokonalé číslo je v matematice zobecnění dokonalého čísla.
Nechť k je přirozené číslo. Číslo n se nazývá k-násobně dokonalé, pokud součet všech kladných dělitelů n (značeno funkce σ (n)) je roven součinu kn. Číslo je tedy dokonalé právě tehdy, když je 2-násobně dokonalé. Od roku 2014 jsou známa k-násobně dokonalá čísla pro každou hodnotu k až do 11.
Není známo, zda existují jiná lichá násobně dokonalá čísla jiná než 1.
Následující posloupnost uvádí několik prvních násobně dokonalých čísel:
1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776 ()
Příklad Součet dělitelů 120 je
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
což je 3 × 120. Z toho plyne, že 120 je 3-násobně dokonalé.
Nejmenší známá k-násobně dokonalá čísla V následující tabulce je uveden přehled nejmenších známých k-násobně dokonalých čísel pro k ≤ 11 (): k Nejmenší k-násobně dokonalé číslo Prvočíselný rozklad Objeveno 1 1 starověk 2 6 2 × 3 starověk 3 120 2 3 × 3 × 5 starověk 4 30240 2 5 × 3 3 × 5 × 7 René Descartes, kolem roku 1638 5 14182439040 2 7 × 3 4 × 5 × 7 × 11 2 × 17 × 19 René Descartes, kolem roku 1638 6 154345556085770649600 (21 číslic) 2 15 × 3 5 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257 Robert Daniel Carmichael, 1907 7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 číslic) 2 32 × 3 11 × 5 4 × 7 5 × 11 2 × 13 2 × 17 × 19 3 × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479 TE Mason, 1911 8 826809968707776137289924…057256213348352000000000 (133 číslic) 2 62 × 3 15 × 5 9 × 7 7 × 11 3 × 13 3 × 17 2 × 19 × 23 × 29 × … × 487 × 521 2 × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 31163 × 5 649657 (38 různých prvočinitelů) Stephen F. Gretton, 1990 9 561308081837371589999987…415685343739904000000000 (287 číslic) 2 104 × 3 43 × 5 9 × 7 12 × 11 6 × 13 4 × 17 × 19 4 × 23 2 × 29 × … × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106058129 × 10601512529 × 11 16148168401 (66 různých prvočinitelů) Fred Helenius, 1995 10 448565429898310924320164…00000000000000000000000 (639 číslic) 2 175 × 3 69 × 5 29 × 7 18 × 11 19 × 13 8 × 17 9 × 17 9 × 7 × 19 7 × … × 583367 × … × 583367 × 312601841 × 2664097031 × 43154248849 × 212154248849 × 21260978849 × 21260978849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 různých hlavních faktorů) George Woltman, 2013 11 251850413483992918774837…00000000000000000000000 (1907 číslic) 2 468 x 3 140 x 5 x 66 7 49 x 11 40 x 13 31 x 17 x 11 x 19 12 x 23 x 9 29 7 x … x 25922273669242462300441182317 x 15428152323948966909689390436420781 x 420391294797275951862132367930818883361 x 23735410086474640244277823338130677687887 x 628683935022908831926019116410056880219316806 841500141982334538232031397827230330241 (246 zřetelných primárních faktorů) George Woltman, 2001
Vlastnosti Lze dokázat, že: Pro dané prvočíslo p platí, že když n je p-násobně dokonalé a není dělitelné číslem p, pak součin pn je (p+1)-násobně dokonalý. To implikuje, že celé číslo n je 3-násobně dokonalé číslo dělitelné 2, ale ne 4 právě tehdy, když n/2 je liché dokonalé číslo, z nichž žádné není známo. Jestliže 3n je 4k-násobně dokonalé a n není dělitelné 3, pak n je 3k-násobně dokonalé.
Lichá násobně dokonalá čísla Není známo, zda kromě 1 existují i další lichá násobně dokonalá čísla.
Existuje-li liché k-násobně dokonalé číslo n > 1, kde k > 2, pak musí splňovat následující podmínky:
Největší prvočinitel je ≥ 100129 Druhý největší prvočinitel je ≥ 1009 Třetí největší prvočinitel je ≥ 101
Meze V notaci malé-o lze počet násobně dokonalých čísel menších než x zapsat jako pro všechna ε > 0.
Počet k-násobně dokonalých čísel n je pro n ≤ x menší než , kde c a c jsou konstanty nezávislé na k.
Za předpokladu platnosti Riemannovy hypotézy platí pro všechna k-násobně dokonalá čísla n, kde k > 3, následující nerovnost:
,
kde je Eulerova konstanta. To lze dokázat pomocí Robinovy věty.
Počet dělitelů τ(n) k-násobně dokonalého čísla n vyhovuje nerovnosti:
.
Počet odlišných prvočinitelů ω(n) z n splňuje:
Jestliže rozdílní prvočinitelé n jsou , pak:
Zvláštní případy hodnot k
Dokonalá čísla Číslo n s σ(n) = 2n je dokonalé.
Viz článek Dokonalé číslo.
Trojdokonalá čísla Číslo n s σ(n) = 3n je trojdokonalé. Je známo pouze šest trojdokonalých čísel a předpokládá se, že zahrnují všechna taková čísla:
120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 ()
Pokud existuje liché dokonalé číslo m (slavný otevřený problém), pak 2m by bylo 3-násobně dokonalé, protože σ(2m) = σ(2)·σ(m) = 3·2m. Liché trojdokonalé číslo musí být druhou mocninou nějakého přirozeného čísla, musí být větší než 1070 a musí mít alespoň 12 odlišných prvočinitelů, přičemž největší z nich přesahuje 105.
Varianty
Unitární násobně dokonalá čísla Stejné rozšíření lze provést pro unitární dokonalá čísla. Kladné celé číslo n se nazývá unitární k-násobné číslo, pokud σ*(n) = k·n, kde σ*(n) je součet jeho kladných vlastních unitárních dělitelů, bez samotného čísla. (Dělitel d čísla n je unitární dělitel, pokud d a n/d nemají žádné společné prvočinitele.)Unitární násobeně dokonalé číslo je jednoduše unitární k-násobně dokonalé číslo pro nějaké kladné celé číslo k. Ekvivalentně jsou jednotně násobná dokonalá čísla ta n, pro která σ*(n) je dělitelné n. Unitární 2-násobně dokonalé číslo je unitárním dokonalým číslem. V případě k > 2 není dosud znám žádný příklad unitárního k-násobně dokonalého čísla. Je známo, že pokud takové číslo existuje, musí být sudé a větší než 10102 a musí mít více než čtyřicet čtyři lichých prvočinitelů. Pravděpodobně je velmi obtížné tento problém vyřešit. S myšlenkou unitárního dělitele přišel R. Vaidyanathaswamymu (1931), který takového dělitele nazval blokovým dělitelem. Současná terminologie je zásluhou E. Cohena (1960).
Několik prvních unitárních násobně dokonalých čísel:
1, 6, 60, 90, 87360 ()
Bi-unitární násobně dokonalá čísla Kladné celé číslo n se nazývá bi-unitární k-násobně dokonalé číslo, jestliže σ**(n) = kn. S touto myšlenkou přišel jako první Peter Hagis (1987). Bi-unitární násobně dokonalé číslo je jednoduše bi-unitární k-násobně dokonalé číslo pro nějaké kladné celé číslo k. Ekvivalentně jsou bi-unitární násobně dokonalá čísla ta n, pro která n dělí σ**(n). Bi-unitární 2-násobně dokonalé číslo je bi-unitárním dokonalým číslem a bi-unitární 3-násobně dokonalé číslo se nazývá bi-unitární trojdokonalé číslo.
Dělitel d kladného celého čísla n se nazývá bi-unitární dělitel''' n, pokud se největší společný jednotkový dělitel čísla d a n/d rovnají 1. S touto myšlenkou přišel D. Surynarayana (1972). Součet (kladných) bi-unitárních dělitelů n označíme σ**(n).
Peter Hagis (1987) dokázal, že neexistují žádná lichá bi-unitární násobně dokonalá čísla. Haukkanen a Sitaramaiah (2020) objevili všechna sudá bi-unitární trojdokonalá čísla ve tvaru u, kde 1 ≤ a ≤ 6 a u je liché, a částečně i v případě, že a = 7. Později rozšířili posloupnost i pro a'' = 8.
Posloupnost několika prvních bi-unitárních násobně dokonalých čísel:
1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 ()
Reference
Kategorie:Celočíselné posloupnosti Kategorie:Teorie čísel