Maticová exponenciála je v matematice maticová funkce na čtvercových maticích, která je obdobou obyčejné exponenciální funkce. Používá se pro řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic. V teorii Lieových grup je maticová exponenciála exponenciální zobrazení mezi maticemi Lieovy algebry a odpovídající Lieovou grupou.
Nechť je reálná nebo komplexní matice . Exponenciální funkce matice , značená nebo , je matice daná mocninnou řadou
přičemž se definuje jako jednotková matice stejné velikosti jako matice . Equation 2.1
Výše uvedená řada vždy konverguje, exponenciální funkce matice je tedy korektně definovaná. Pokud je matice 1×1, její maticová exponenciála je opět matice 1×1, jejíž jediný prvek má hodnotu normální exponenciální funkce jediného prvku původní matice .
Vlastnosti
Elementární vlastnosti Nechť a je komplexní matice a nechť a jsou libovolná komplexní čísla. Jednotkovou matici budeme značit a nulovou matici 0. Maticová exponenciála splňuje následující vlastnosti. Proposition 2.3
Následující vlastnosti jsou bezprostředním důsledkem definice maticové exponenciály jako mocninné řady:
, kde označuje transpozici matice . , kde označuje hermitovskou transpozici matice . Pokud je invertovatelná, pak
Dalším klíčovým výsledkem je: Pokud pak .
Důkaz této identity je stejný jako důkaz pro standardní mocninnou řadu pro příslušnou identitu pro exponenciální funkci reálných čísel. Tj. podmínka pokud a komutují, se neliší, ať jsou a čísla nebo matice. Je důležité si všimnout, že tato identita obvykle není splněna, pokud a nekomutují (viz Goldenova-Thompsonova nerovnost níže).
Důsledky předchozích identit jsou následující:
Použitím výše uvedených výsledků můžeme snadno ověřit následující tvrzení: Pokud je symetrická, pak je také symetrická, a pokud je antisymetrická, pak je ortogonální. Pokud je hermitovská, pak je také hermitovská, a pokud je antihermitovská, pak je unitární.
Laplaceova transformace maticové exponenciály je resolventou,
pro všechny dostatečně velké kladné hodnoty .
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Jedním z hlavních důvodů pro zavedení maticové exponenciály je její použitelnost pro řešení soustav lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Řešení
kde je konstantní matice, popisuje vztah
Maticová exponenciála může být také použita pro řešení nehomogenní rovnice
příklady jsou níže v části Aplikace.
Pro soustavy diferenciálních rovnic tvaru
kde matice není konstantní, nelze řešení zapsat v uzavřeném tvaru, ale Magnusova řada dává řešení ve tvaru nekonečného součtu.
Determinant maticové exponenciály Podle Jacobiho vzorce pro libovolnou komplexní čtvercovou matici platí následující identita: Theorem 2.12
Tento vzorec poskytuje výpočetní nástroj a zároveň ukazuje, že maticová exponenciála je vždy regulární maticí. Plyne to z faktu, že pravá strana výše uvedené identity je vždy nenulová, a proto , z čehož plyne, že musí být invertovatelná.
Pro matice reálných čísel ze vzorce také plyne, že zobrazení
není surjektivní („na“), na rozdíl od výše uvedeného komplexního případu. To plyne z faktu, že pro reálné matice je pravá strana vzorce vždy kladná, přitom ale existují invertovatelné matice se záporným determinantem.
Reálné symetrické matice Maticová exponenciála reálné symetrické matice je pozitivně definitní. Nechť je reálná symetrická matice a sloupcový vektor. Použitím elementární vlastnosti maticové exponenciály a symetrické matice, dostáváme:
Protože je invertovatelná, rovnost platí pouze pro , a máme pro všechna nenulová . Tedy je pozitivně definitní.
Exponenciální funkce součtu matic Víme, že pro libovolná reálná čísla (skaláry) a vyhovuje exponenciální funkce vztahu . Totéž je splněno pro komutující matice. Pokud matice a komutují (což znamená, že ), pak
Pro matice, které nekomutují, však výše uvedená rovnost nemusí vždy platit.
Lieův součinový vzorec I když a nekomutují, exponenciální funkci lze vypočítat podle Lieova součinového vzorce Theorem 2.11
Použití velkého konečného pro výše uvedenou aproximaci je základem Suzukiho-Trotterova rozvoje často používaného v numerickém časovém rozvoji.
Bakerův–Campbellův–Hausdorffův vzorec V opačném směru, pokud a jsou dostatečně malé (ale ne nutně komutující) matice, máme
kde lze vypočítat jako řadu v komutátoru matic a pomocí Bakerova–Campbellova–Hausdorffova vzorce: Chapter 5
kde zbývající členy jsou vesměs opakované komutátory obsahující a . Pokud matice a komutují, pak všechny komutátory jsou nulové a máme jednoduše .
Nerovnosti pro exponenciály hermitovských matic
Pro hermitovské matice tam souvisí s větou o stopě maticových exponenciál.
Pokud a jsou hermitovské matice, pak
Přitom zde není žádný požadavek na komutativitu. Existují protipříklady, které ukazují, že Goldenovu–Thompsonovu nerovnost nelze rozšířit na tři matice, a v obecném případě není zaručeno, že bude reálná pro hermitovské , , . Elliott H. Lieb však dokázal, že ji lze zobecnit pro tři matice, pokud změníme výraz takto
Exponenciální zobrazení Exponenciála matice je vždy regulární matice. Inverzní matice je . Jde o obdobu faktu, že exponenciální funkce komplexního čísla je vždy nenulová. Maticová exponenciála nám pak dává zobrazení
z prostoru všech matic n×n do obecné lineární grupy stupně , tj. grupy všech invertovatelných matic n×n. Toto zobrazení je surjektivní, což znamená, že každou invertibilní matici lze zapsat jako exponenciální funkci nějaké jiné matice Exercises 2.9 a 2.10 (k tomu je nutné uvažovat těleso C komplexních čísel, nikoli R).
Pro libovolné dvě matice a ,
kde označuje libovolnou normu matice. Odtud plyne, že exponenciální zobrazení je spojité a Lipschitzovsky spojité na kompaktní podmnožině .
zobrazení
definuje hladkou křivku v obecné lineární grupě, která prochází prvkem identity v .
Výsledkem je jednoparametrická podgrupa obecné lineární grupy, protože
Derivaci této křivky (nebo tečného vektoru) v bodě t popisuje vztah
Derivací pro je právě matice X, díky čemuž X generuje tuto jednoparametrickou podgrupu.
Obecněji, pro obecný exponent, který závisí na (píšeme )
Pokud výše uvedený výraz vytkneme mimo integrál a integrand rozvineme pomocí Hadamardova lemmatu, můžeme získat následující užitečný výraz pro derivaci maticového exponentu: Theorem 5.4
Koeficienty ve výše uvedeném výrazu se liší od koeficientů, které se objevují v exponenciální funkci. Pro výsledek v uzavřeném tvaru, viz derivace exponenciálního zobrazení.
Direkční derivace hermitovských matic Nechť je hermitovská matice n×n s navzájem různými vlastními hodnotami. Nechť je její rozklad podle vlastních čísel, kde je unitární matice, jejíž sloupce jsou vlastní vektory matice , je transpozice její konjugované funkce, a vektor odpovídajících vlastních hodnot. Pak pro libovolnou hermitovskou matici n×n, direkční derivace v ve směru je Viz Theorem 3.3. Viz Propositions 1 a 2.
kde , operátor označuje Hadamardův součin, a pro všechna , matice je definovaný jako
Navíc, pro libovolnou hermitovskou matici n×n, druhá direkční derivace ve směru a je
kde maticová funkce je definovaná pro všechna , protože
přičemž
Výpočet maticové exponenciály Nalezení spolehlivé a přesné metody výpočtu maticová exponenciály je obtížné a dosud je předmětem intenzivního výzkumu jak v matematice tak v numerické matematice. Programy Matlab, GNU Octave a SciPy vesměs používá Padéův approximant. V této části diskutujeme metody, které jsou v principu použitelné na libovolné matice, a které lze pro malé matice provádět explicitně.Viz Section 2.2 Následující části popisují metody vhodné pro numerické vyhodnocování pro velké matice.
Diagonalizovatelný případ Pokud matice je diagonální:
pak její exponenciální funkci lze získat aplikací exponenciály na každý prvek na hlavní diagonále:
Tento výsledek nám také umožňuje aplikovat exponenciálu na diagonalizovatelné matice. Pokud
a je diagonální, pak .
Aplikace Sylvesterova vzorce dává stejný výsledek. (To lze snadno ověřit, pokud si všimneme, že sčítání a násobení, tedy i exponenciála, diagonální matice je ekvivalentní se sčítáním a násobením po prvcích, a tedy exponenciála; konkrétně, „jednorozměrná“ exponenciála je cítili po prvcích pro diagonální případ.)
Příklad : Diagonalizovatelná Například matice
lze diagonalizovat jako
Tedy,
Nilpotentní případ Matice je nilpotentní, pokud pro nějaké celé číslo q. V tomto případě lze maticovou exponenciálu vypočítat přímo z rozvoje řady, protože řada skončí po konečném počtu členů:
Protože řada má konečný počet členů, jde o maticový polynom, který lze vypočítat efektivně.
Obecný případ
Použití Jordanova–Chevalleyho rozkladu Podle Jordanova–Chevalleyho rozkladu lze libovolnou matici X n×n s komplexními prvky vyjádřit jako
kde A je diagonalizovatelná N je nilpotentní A komutuje s N
To znamená, že exponenciální funkci X můžeme vypočítat omezením na předchozí dva případy:
Všimněte si, že provedení posledního kroku vyžaduje komutativitu A a N.
Použití Jordanovy normální formy Pokud těleso je algebraicky uzavřené, lze použít blízce příbuznou metodu, v níž pracujeme s Jordanovou normální formou matice . Za předpokladu, že kde je Jordanova normální forma matice . Pak
A také, protože
Proto stačí vědět, jak vypočítat maticovou exponenciálu Jordanova bloku. Každý Jordanův blok však má tvar
kde je speciální nilpotentní matice. Maticová exponenciála matice pak je
Projekční případ Pokud je projekční matice (tj. je idempotentní: ), její maticová exponenciála je: .
Tento vztah lze rozvojem exponenciální funkce; každá mocnina projekční matice se rovná , kterou tak lze vytknout ze sumy:
Rotační případ Pro jednoduché rotace, u nichž kolmé jednotkové vektory a určují rovinu,v Eukleidovském prostoru lze rotační matici vyjádřit pomocí podobné exponenciální funkce s generátorem a úhlem .
Vzorec pro exponenciální funkce plyne z omezení mocniny generátoru v rozvoji řady a identifikaci příslušnou řada koeficienty a s a po řadě. Druhý výraz zde pro je totéž jako výraz pro v členu obsahujícím derivace generátoru, .
Ve dvourozměrném případě, pokud a , pak , , a
omezuje do standardní matice pro rovina rotace.
Matice promítá vektor na rovinu a rotace působí pouze na tuto složku vektoru. Je to možné ilustrovat rotací o v rovině určené a ,
Nechť , pak a její součiny s a jsou nula. Toto nám umožňuje vyhodnotit mocniny .
Vyhodnocování Laurentovou řadou Díky Cayleyho–Hamiltonově větě lze maticovou exponenciálu vyjádřit jako polynom řádu −1.
Pokud a jsou nenulové polynomy jedné proměnné, takové, že , a pokud meromorfní funkce
je celá, pak
Pro důkaz stačí znásobit první ze dvou výše uvedených rovnic a nahradit maticí .
Takový polynom lze podle Sylvesterova vzorce nalézt takto: Je-li kořen polynomu , pak lze řešit ze součinu hlavní části Laurentovy řady funkce v : Je úměrný relevantnímu Frobeniovu kovariantu. Pak součet St s Q,t, kde běží přes všechny kořeny polynomu , můžeme považovat za určitý polynom . Všechny ostatní polynomy Qt lze získat přičtením násobku polynomu k . Konkrétně Lagrangeův-Sylvestrův polynom, , je jediným polynomem , jehož stupeň je menší než stupeň polynomu .
Příklad: Uvažujme případ libovolné matice 2×2,
Exponenciální funkce matice musí mít díky Cayleyho–Hamiltonově větě tvar
(Pro libovolné komplexní číslo a libovolnou C-algebru opět značíme symbolem součin s jednotkou algebry .)
Nechť a jsou kořeny charakteristického polynomu ,
Pak máme
tedy
pro ; zatímco pokud ,
takže
Pokud definujeme
dotáváme
kde je rovno nule, pokud , a rovno pokud .
Tedy
Matici lze tedy, jak je ukázáno výše, rozložit na součet dvou vzájemně komutujících složek, z nichž jedna má stopu a druhá ne:
maticovou exponenciálu lze vyjádřit obyčejným součinem exponenciál obou složek. Tento vzorec se často používá ve fyzice, protože je analogií Eulerova vzorce pro Pauliho spinové matice, což jsou rotace doubletové reprezentace grupy SU(2).