Věty o izomorfismu (Noetherové věty o izomorfismu) jsou v abstraktní algebře, oboru matematiky, matematické věty, které popisují vztah mezi faktorovými algebrami, homomorfismy a podobjekty. Věty existují ve verzích pro grupy, okruhy, vektorové prostory, moduly, Lieovy algebry a jiné algebraické struktury. V univerzální algebře lze věty o izomorfismu zobecnit na kontext algeber a kongruencí.

Historie Věty o izomorfismu formulovala v určité obecnosti pro homomorfismy modulů Emmy Noetherová ve svém článku Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, který byl publikován v roce 1927 v Mathematische Annalen. Méně obecné verze těchto vět lze nalézt v práci Richarda Dedekinda a ve starších odborných článcích E. Noetherové.

O tři roky později publikoval B.L. van der Waerden svoji vlivnou Moderne Algebra, první učebnici abstraktní algebry, která k tématu přistupovala pomocí grup, okruhů a těles. Van der Waerden uvedl jako hlavní pramen přednášky Noetherové o teorii grup a přednášky Emila Artina o algebře, jakož i seminář o ideálech, který vedli Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier a sám van der Waerden. Explicitně se jedná o tři věty o izomorfismu nazývané věta o homomorfismu a dva zákony izomorfismu při aplikaci na grupy.

Grupy Následuje prezentace vět o izomorfismu grup.

Věta A (grupy)

náhled|Diagram základní věty o homomorfismu

Nechť G a H jsou grupy, a nechť f : G → H je grupový homomorfismus. Pak: Jádro homomorfismu f je normální podgrupa grupy G, Obraz homomorfismu f je podgrupa grupy H, a Obraz homomorfismu f je izomorfní s faktorovou grupou G / ker(f). Speciálně pokud f je surjektivní pak H je izomorfní s G / ker(f).

Tato věta se obvykle nazývá první věta o izomorfismu.

Věta B (grupy) náhled|Diagram pro větu B4. Dvě faktorové grupy (tečkované) jsou izomorfní. Nechť je grupa. Nechť je podgrupa grupy , a nechť je normální podgrupa grupy . Pak platí: Součin je podgrupa grupy , Podgrupa je normální podgrupa grupy , Průnik je normální podgrupa podgrupy , a Faktorové grupy a jsou izomorfní. Technicky není nezbytné, aby byla normální podgrupa, pokud je podgrupa normalizátoru podgrupy v . V tomto případě není normální podgrupou grupy , ale je stále normální podgrupou součinu .

Tato věta se někdy nazývá druhá věta o izomorfismu,, nebo .

Aplikace druhé věty o izomorfismu identifikuje projektivní lineární grupy: například grupa na Riemannově sféře vychází z , grupa invertovatelných matic 2 × 2 komplexních čísel vychází z , podgrupa matic s determinantem 1, a normální podgrupa skalární matice , máme , kde je jednotková matice, a . Pak druhá věta o izomorfismu říká, že:

Věta C (grupy) Nechť je grupa, a normální podgrupa grupy . Pak Pokud je podgrupa grupy taková, že , pak má podgrupu izomorfní s . Každá podgrupa grupy má tvar pro nějakou podgrupu grupy taková, že . Pokud je normální podgrupa grupy taková, že , pak má normální podgrupu izomorfní s . Každá normální podgrupa grupy má tvar pro nějakou normální podgrupu grupy takovou, že . Pokud je normální podgrupa grupy taková, že , pak faktorová grupa je izomorfní s .

Za třetí větu o izomorfismu je někdy označováno jen poslední tvrzení. První čtyři tvrzení se často zahrnují pod níže uvedenou větu D, a říká se jim svazová věta, věta o korespondenci nebo čtvrtá věta o izomorfismu.

Věta D (grupy)

Nechť je grupa, a normální podgrupa grupy . Kanonické projekce homomorfismu definuje bijektivní korespondence mezi množinou podgrup grupy obsahujících a množinou (všech) podgrup grupy . Při této korespondenci normální podgrupy odpovídají normálním podgrupám.

Tato věta se někdy nazývá věta o korespondenci, svazová věta nebo čtvrtá věta o izomorfismu.

Čtvrtou větou o izomorfismu se někdy nazývá Zassenhausovo lemma (motýlové lemma).

Diskuze První větu o izomorfismu lze vyjádřit v jazyce teorie kategorií tak, že kategorie grup je (normální epi, mono)-faktorizovatelná; jinými slovy normální epimorfismy a monomorfismy tvoří faktorizační systém kategorie. To je zachyceno v komutativním diagramu na okraji, který ukazuje objekty a morfismy, jejichž existenci lze odvodit z morfismu . Diagram ukazuje, že každý morfismus v kategorii grup má jádro ve smyslu teorie kategorií; libovolný morfismus f se dělí na morfismy , kde ι je monomorfismus a π je epimorfismus (v konormální kategorii jsou všechny epimorfismy normální). To je znázorněno v diagramu objektem a monomorfismem (jádra jsou vždy monomorfismy), který doplňují krátkou exaktní posloupnost běžící z dolního levého rohu do horního pravého rohu diagramu. Použití konvence exaktní posloupnosti nás ušetří od nutnosti kreslit nulové morfismy z do a .

Pokud je posloupnost rozdělena zprava (tj. existuje morfismus σ, který zobrazuje na -vzor sebe sama), pak G je semidirektním součinem normální podgrupy a podgrupy . Pokud je rozdělen vlevo (tj. existuje nějaký takové, že ), pak musí také být správně rozděleno, a je přímý součin rozklad grupy G. Obecně platí, že existence pravého rozdělení neznamená existenci levého rozdělení; ale v abelovské kategorii (např. v kategorii abelovských grup) jsou levé a pravé rozdělení ekvivalentní podle lemmatu o rozdělení, a pravé rozdělení je postačující pro získání rokladu přímého součtu grupy . V abelovské kategorii jsou také všechny monomorfismy normální, a graf lze rozšířit o druhou krátkou exaktní posloupnost .

Ve druhé větě o izomorfismu je součin SN je spojením S a N ve svazové podgrupě grupy G, zatímco průnik S ∩ N je průsekem.

Lemma devíti zobecňuje třetí větu o izomorfismu na abelovské kategorie a obecnější zobrazení mezi objekty.

Poznámka k číslování a jménům vět Následující tabulka obsahuje čtyři věty označené A, B, C a D, které jsou obvykle číslované jako „První věta o izomorfismu“, „Druhá...“ atd.; ale různí autoři je číslují různě. V tabulce jsou uvedeny příklady vět o izomorfismu grup v literatuře. Všimněte si, že k těmto větám existují obdoby pro okruhy a moduly.

+ Porovnání jmen vět o izomorfismu grup Komentář Autor Věta A Věta B Věta C Žádná „třetí“ věta JacobsonJacobson (2009), sec 1.10 Základní věta o homomorfismu (Druhá věta o izomorfismu) “často označovaná jako první věta o izomorfismu“ van der Waerden,van der Waerden, Algebra (1994). Durbin Základní věta of homomorfismy První věta o izomorfismu Druhá věta o izomorfismu KnappKnapp (2016), sec IV 2 (Žádné jméno) Druhá věta o izomorfismu První věta o izomorfismu GrilletGrillet (2007), sec. I 5 věta o Homomorfismu Druhá věta o izomorfismu První věta o izomorfismu Tři číslované věty (Jiné konvence než u Grilleta) První věta o izomorfismu Třetí věta o izomorfismu Druhá věta o izomorfismu RotmanRotman (2003), sec. 2.6 První věta o izomorfismu Druhá věta o izomorfismu Třetí věta o izomorfismu FraleighFraleigh (2003), Chap. 14, 34 Základní věta o homomorfismu nebo první věta o izomorfismu Druhá věta o izomorfismu Třetí věta o izomorfismu Dummit & Foote První věta o izomorfismu Druhá věta o izomorfismu () Třetí věta o izomorfismu Nečíslované MilneMilne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms Věta o homomorfismu Věta o izomorfismu Věta o korespondenci ScottScott (1964), secs 2.2 and 2.3 Věta o homomorfismu Věta o izomorfismu Freshmanova věta Je méně běžný zahrnout Větu D, obvykle známou jako svazová věta nebo věta o korespondenci, jako jednu z vět o izomorfismu, pokud je však obsažena, je poslední.

Okruhy Tvrzení vět pro okruhy jsou podobná, ale pojem normální podgrupy je nahrazen pojmem ideálu.

Věta A (okruhy) Nechť a jsou okruhy, a nechť je okruhový homomorfismus. Pak: Jádro homomorfismu je ideál okruhu , Obraz homomorfismu je podokruh okruhu , a Obraz homomorfismu je izomorfní s faktorokruhem . Speciálně pokud je surjektivní pak je izomorfní s .

Věta B (okruhy) Nechť R je okruh. Nechť S je podokruh okruhu R, a nechť I je ideál okruhu R. Pak: Součet S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } je podokruh okruhu R, Průnik S ∩ I je ideál podokruhu S, a Podílové okruhy (S + I) / I a S / (S ∩ I) jsou izomorfní.

Věta C (okruhy) Nechť R je okruh, a I ideál okruhu R. Pak Pokud je podokruh okruhu takový, že , pak je podokruh okruhu . Každý podokruh okruhu má tvar pro nějaký podokruh okruhu takový, že . Pokud je ideál okruhu takový, že , pak je ideál okruhu . Každý ideál okruhu má tvar pro nějaký ideál okruhu takový, že . Pokud je ideál okruhu takový, že , pak podílový okruh je izomorfní s .

Věta D (okruhy) Nechť je ideál okruhu . Korespondence je inkluzi zachovávající bijekce mezi množinou podokruhů okruhu , které obsahují , a množinou podokruhů okruhu . Navíc (podokruh obsahující ) je ideálem okruhu právě tehdy, když je ideálem okruhu .

Moduly Tvrzení vět o izomorfismu pro moduly jsou zvláště jednoduchá, protože z libovolného podmodulu lze vytvořit podílový modul. Věty o izomorfismu vektorových prostorů (modulů nad komutativním tělesem) a Abelovy grupy (moduly nad ) jsou jeho speciálními případy. Pro konečněrozměrný vektorové prostory všechny tyto věty vycházejí z věty o dimenzích jádra a obrazu.

V následujícím textu bude „modul“ znamenat „R-modul“ pro nějaký pevný okruh R.

Věta A (moduly) Nechť M a N jsou moduly, a nechť φ : M → N je modulový homomorfismus. Pak: Jádro homomorfismu φ je podmodul modulu M, Obraz homomorfismu φ je podmodul modulu N, a Obraz homomorfismu φ je izomorfní s podílovým modulem M / ker(φ). Speciálně pokud φ je surjektivní pak N je izomorfní s M / ker(φ).

Věta B (moduly) Nechť M je modul, a nechť S a T jsou podmoduly modulu M. Pak: Součet S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} je podmodul modulu M, Průnik S ∩ T je podmodul modulu M, a Podílové moduly (S + T) / T a S / (S ∩ T) jsou izomorfní.

Věta C (moduly) Nechť M je modul, T podmodul modulu M.

Pokud je podmodul modulu takový, že , pak je podmodul modulu . Každý podmodul modulu má tvar pro nějaký podmodul modulu takový, že . Pokud je podmodul modulu takový, že , pak podílový modul je izomorfní s .

Věta D (moduly) Nechť je modul, podmodul modulu . Existuje bijekce mezi podmoduly modulu , který obsahuje a podmoduly modulu . Korespondence je dána vztahem pro všechny . Tato korespondence komutuje s procesy nabývání součtů a průniků (tj. je svazovým izomorfismem mezi svazem podmodulů modulu a svazem podmodulů modulu , který obsahuje ).Dummit and Foote (2004), p. 349

Univerzální algebra Pro zobecnění této věty na univerzální algebru je nutné nahradit normální podgrupy relací shodnosti.

Kongruence na algebře je relace ekvivalence , která tvoří podalgebru algebry považovanou za algebru s operacemi po složkách. Je možné vytvořit množinu tříd ekvivalence do algebry stejného typu tím, že definujeme operaci pro reprezentanty tříd; tato operace bude korektně definovaná, protože je podalgebrou algebry . Výslednou strukturu nazýváme faktoralgebra nebo podílová algebra.

Věta A (univerzální algebra) Nechť je algebrový homomorfismu. Pak obraz homomorfismu je podalgebrou algebry , vztah daný (tj. jádrem homomorfismu ) je kongruence na , a algebry a jsou izomorfní. (Všimněte si, že v případě grup právě tehdy, když , takže se v tomto případě vracíme k pojmu jádra používanému v teorii grup.)

Věta B (univerzální algebra) Je dána algebra , podalgebra algebry , a kongruence na , nechť je stopa relace v a kolekce tříd ekvivalence, které protínají . Pak je kongruence na , je podalgebrou algebry , a algebra je izomorfní s algebrou .

Věta C (univerzální algebra) Nechť je algebra a dvě relace shodnosti na takový, že . Pak je kongruence na , a je izomorfní s

Věta D (univerzální algebra) Nechť je algebra a označíme množinu všech kongruencí na . Množina je úplný svaz uspořádaný inkluzí.Burris and Sankappanavar (2012), p. 37 Pokud je kongruence, a budeme značit množinu všech kongruencí, které obsahují (tj. je hlavní filtr v , který je navíc podsvazem), pak zobrazení je svazový izomorfismus.Burris and Sankappanavar (2012), p. 49

Odkazy

Poznámky

Reference