náhled|350px|vpravo|2D DCT (typu II) v porovnání s DFT. DCT koncentruje nejvíce energie na nejnižších frekvencích. Diskrétní kosinová transformace (, zkratka DCT) je diskrétní transformace podobná diskrétní Fourierově transformaci (DFT), ale produkující pouze reálné koeficienty. Je jednou z mnoha transformací příbuzných Fourierově transformaci. Existuje 8 standardních variant DCT, z nichž 4 jsou běžně používané.

Nejběžnější varianta diskrétní kosinové transformace je DCT typu II, která je často nazývána pouze „DCT“. K ní inverzní transformace je DCT typu III, také rovněž často nazývána pouze „inverzní DCT“ nebo zkratkou „IDCT“.

Aplikace náhled|350px|vpravo|DCT-II (dole) v porovnání s DFT (uprostřed) vstupního signálu (nahoře). DCT je často používána při zpracování signálu a obrazu, obzvláště pro ztrátovou kompresi. Je například použita v obrazovém formátu JPEG, formátech MJPEG, MPEG a DV. Její modifikace jsou použity v audio formátech AAC, Vorbis a MP3.

Definice Formálně je DCT lineární invertovatelná funkce F : RN → RN (kde R značí množinu reálných čísel); nebo ekvivalentně čtvercová matice N × N. Existuje několik variant DCT s mírně modifikovanou definicí. N reálných čísel x0…, xN-1 je transformováno do N reálných čísel X0…, XN-1 podle jedné z rovnic:

DCT-I

DCT-I není definována pro N < 2. (Všechny ostatní typy DCT jsou definovány pro libovolné N.)

Inverzní transformace k DCT-I je DCT-I násobená 2/(N-1).

DCT-II

DCT-II je pravděpodobně nejrozšířenější forma a je často uváděna pouze jako „DCT“.

Inverzní transformace k DCT-II je DCT-III násobená 2/N.

DCT-III

Protože je to inverzní transformace k DCT-II (až na „měřítko“, ), je tato forma někdy uváděna pouze jako „inverzní DCT“ („IDCT“).

Inverzní transformace k DCT-III je DCT-II násobená 2/N.

DCT-IV

Inverzní transformace k DCT-IV je DCT-IV násobená 2/N.

DCT V-VIII Tyto varianty se v praxi používají zřídka.

Vícerozměrné DCT Vícerozměrná transformace (transformace vícerozměrné funkce) může být spočítána jako série jednorozměrných transformací postupně v každém rozměru. Pro 2D například nejprve po řádcích a pak po sloupcích (nebo naopak).

2D DCT-II je například dána rovnicí:

Výpočet Přestože přímá aplikace těchto rovnic může vyžadovat O(N2) operací, je možné spočítat stejnou transformaci pouze se složitostí O(N log N) použitím rychlé Fourierovy transformace (, FFT).

Příklad Úseky zdrojového kódu v jazyce C (DCT typu II a typu III):

Dopředná Dopředná () 1D DCT (typu II): void fct(const double *input, double *output) { for(int h=0; h<LENGTH; h++) { double sum = 0; for(int j=0; j<LENGTH; j++)

double xk = input[j]; double c = (M_PI/LENGTH)*h*(j+0.5); sum += xk*cos(c);

output[h] = sum;

Zpětná Zpětná () 1D DCT (typu III): void ict(const double *input, double *output) { for(int h=0; h<LENGTH; h++) { double sum = 0; for(int j=1; j<LENGTH; j++)

double xk = input[j]; double c = (M_PI/LENGTH)*j*(h+0.5); sum += xk*cos(c);

sum += 0.5*input; sum *= 2/(double)LENGTH; output[h] = sum;

Související články goniometrická funkce kosinus diskrétní vlnková transformace

Reference

Externí odkazy

DCT na serveru PlanetMath The Discrete Cosine Transform (DCT): Theory and Application Programujeme JPEG: diskrétní kosinová transformace (DCT) – článek o DCT na root.cz

Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Zpracování digitálního signálu Kategorie:Diskrétní transformace