náhled|250x250pixelů| Graf funkce a pro reálné argumenty náhled|250x250pixelů| reálná část funkce náhled|250x250pixelů| imaginární část funkce náhled|250x250pixelů| modul Lambertova funkce W je speciální funkce používaná při řešení rovnic, které obsahují neznámou jak v základu, tak v exponentu. Nese jméno švýcarského učence Johanna Heinricha Lamberta. Je definována jako inverzní relace k funkci kde patří do množiny komplexních čísel, a značí se Pro každé komplexní číslo tedy platí

Protože funkce není prostá (injektivní), je vícehodnotová a dá se chápat jako množina jednoznačných funkcí kde je index větve zobrazení. Pro reálné argumenty je nejdůležitější rostoucí funkce popsaná níže, přičemž pro malé záporné reálné argumenty na intervalu existuje i druhá možnost daná větví , což je klesající funkce.

Vlastnosti Rovnice má řešení:

Primitivní funkci k lze nalézt integrováním substitucí: pokud tak Pak

Derivace funkce je

Důkaz Derivováním rovnice podle dostaneme

Aplikace Funkce se používá v kombinatorice a při řešení diferenciálních rovnic. Pomocí této funkce lze dále vyřešit mnoho transcendentních rovnic zahrnujících mocninu neznámé, pokud je rovnici možné převést na tvar což automaticky dává řešení:

Příklad 1

Příklad 2 Nekonečné umocňování. Pokud hodnota je konečná, lze ji vypočítat takto:

Z toho dostaneme:

Aby se dokázalo, že hodnota existuje, je potřeba prozkoumat posloupnost

nebo (v rekurzivní formě):

a dokázat existenci limity. Pokud limita existuje, pak platí rovnost

Příklad 3 Diferenciální rovnice vyjadřující opožděnou reakci

má charakteristickou rovnici takže kde je číslo větve. Pokud je reálné, stačí vzít v úvahu větev . Řešení je tedy:

Vybrané hodnoty

| (konstanta známá jako omega)

Reference

Literatura Oleszkiewicz Krzysztof, Funkcja Lamberta, „Delta”, 2014, ISSN 0137-3005 (polsky)

Externí odkazy

Kategorie:Speciální funkce