Schwartzův prostor je matematický prostor obsahující funkce, jejichž všechny derivace klesají rychleji, než libovolný polynom. Schwartzův prostor zavádíme nejčastěji v souvislosti s Fourierovou transformací, protože u funkcí z tohoto prostoru můžeme definovat i inverzní Fourierovu transformaci.
Formální definice Nechť . Pak Schwartzův prostor je množina všech funkcí takových, že a zároveň splňují
pro všechna
Zde jsou tzv. multiindexy definované například jako . Multiindex je pouhý soubor čísel, který pro stručnost zapisujeme jedním znakem. V tomto případě jsou všechna čísla obsažená v multiindexu nezáporná celá čísla.
Tedy značí parciální derivaci ve více směrech najednou.
Velikost multiindexu definujeme jako pouhý součet čísel, které obsahuje.
Nultá parciální derivace je chápána tak, že v daném směru nederivujeme. Analogicky chápeme umocňování multiindexem, jako
Norma značí normu v Lp prostoru (pro ).
Přesněji tak slovní definice zní: Schwartzův prostor je prostor všech hladkých funkcí takových, že násobek jejich libovolné derivace s libovolnou mocninou je integrovatelný (ve smyslu prostoru L).
Vlastnosti Schwartzův prostor tvoří algebru vzhledem k násobení a sčítání funkcí. Násobek či součet dvou libovolných funkcí ze Schwartzova prostoru je funkce opět ze Schwartzova prostoru.
Násobek polynomu a funkce patří do Schwartzova prostoru. Do Schwartzova prostoru také patří všechny derivace , .Černý a Pokorný, str. 176
Platí pro všechna . Všechny funkce v jsou tedy integrovatelné. Prostor je hustý v pro všechna .
Konvoluce dvou funkcí z je opět z (říkáme, že prostor je uzavřen nad operací konvoluce).
V mnoha různých prostorech funkcí platí, že Fourierova transformace z integrovatelné funkce nemusí být nutně integrovatelná. Příkladem může být prostor , kde Fourierova transformace z Diracovy delta funkce je jednotková konstantní funkce, která není integrovatelná na . To ale není případ Schwartzova prostoru. Můžeme tak definovat dobře se chovající inverzní Fourierovu transformaci. Pro je (přímou) Fourierovou transformací definována funkce proměnné , která mapuje s předpisem
Závorkou rozumíme skalární součin. Inverzní (zpětná) Fourierova transformace je pak definována jako funkce s předpisem
Černý a Pokorný, str. 179
Schwartzův prostor je užitečný v tom, že funkce v něm mají integrovatelné Fourierovy transformace a tedy předchozí vzorec má vždy dobrý význam.
Příklady Typickým zástupcem funkce ve Schwartzově prostoru je Gaussova funkce . Všechny derivace této funkce existují všude, tedy platí . Pokud vynásobíme libovolně velkou mocninou (), od jistého bodu bude exponenciála klesat dost rychle na to, že celková funkce půjde pro velké hodnoty k nule. Pro prostor můžeme Gaussovu funkci přirozeně zobecnit jako .
Schwartzův prostor neobsahuje žádné racionální funkce kvůli jejich nedostatečné rychlosti klesání k nule. Funkce sice klesá k nule dostatečně rychle, ale není hladká (její derivace v počátku neexistuje) a tedy nepatří do .
Tento prostor obsahuje i všechny hladké funkce s kompaktním nosičem (množina bodů na kterých jsou nenulové je kompakt).
Odkazy
Poznámky
Reference
Literatura
Související články Fourierova transformace Lp prostor konvoluce
Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Fourierova analýza