V matematice je svazek souhrnné shromáždění lokálně definovaných dat (jako jsou množiny, abelovské grupy, okruhy) nad topologického prostoru vůči jejich otevřených množin. Taková data se chovají dobře v tom, že je lze omezit na menší otevřené množiny a kolekce souhrnných dat přiřazené otevřených množin jedinečně definují daty na související pokrytí.
Oblast matematiky, která studuje svazy, se nazývá teorie svazů.
Svazy jsou koncepčně chápány jako obecné a abstraktní objekty. Jejich přesná definice je spíše technická. Jsou konkrétně definovány například jako svazy množin nebo jako svazy okruhů, v závislosti na typu dat přiřazených otevřeným množinám.
Existují také zobrazení (nebo morfismy) z jednoho svazu; svazy (specifického typu, jako například svazy abelovských grup ) s jejich morfismy na pevném topologickém prostoru tvoří kategorii.
Vzhledem ke své obecné povaze a všestrannosti mají svazy několik aplikací v topologii a zejména v algebraické a diferenciální geometrii . Zaprvé, geometrické struktury, jako je diferencovatelná varieta nebo schéma, lze vyjádřit pomocí svazu okruhů na prostoru. V takových kontextech je několik geometrických konstrukcí, jako jsou vektorové svazky nebo dělitelé, přirozeně specifikováno pomocí svazů. Zadruhé, svazy poskytují rámec pro velmi obecnou teorii kohomologie, která zahrnuje i „obvyklé“ topologické teorie kohomologie, jako je singulární kohomologie. Zejména v algebraické geometrii a teorii komplexních variet poskytuje svazová kohomologie silné spojení mezi topologickými a geometrickými vlastnostmi prostorů. Svazy také poskytují základ pro teorii D-modulů, které poskytují aplikace v teorii diferenciálních rovnic. Kromě toho zobecnění svazů na obecnější prostředí než topologické prostory, jako je pojem svazu na kategorii vzhledem k nějaké Grothendieckově topologii, poskytla aplikace v matematické logice a teorii čísel.
Definice a příklady
Předsvazek Buď topologický prostor. Předsvazek množin je kontravariantní funktor z kategorii otevřených množin prostoru do kategorii množin.
Pro otevřenou množinu , množinu také naznačeno se říká řezy nad otevřenou množinu . , řezů nad se říká, globální řezy. Pro inkluze otevřených množin , souvisejícím morfismu se říká restrikční morfismus. Pro řez , jako pro restrikce zobrazení, obvykle naznačíme .
Předsvazky nad prostoru tvoří kategorii , kde morfismy mezy předsvazů jsou přirozené transformace.
Svazek Vzhledem k danému předsvazu se přirozeně nabízí otázka, do jaké míry jsou jeho řezy nad otevřenou množinou specifikovány svými restrikcí na otevřené podmnožiny . Svazek je předsvazek, jehož sekce jsou v technickém smyslu jednoznačně určeny svými restrikcí.
Axiomaticky je svaz předsvazem, který splňuje oba následující axiomy:
(Lokalita) Předpokládáme je otevřená množina, je otevřený pokrytí množiny , kde pro všechny a jsou řezy. Kdyby pro všechny , tak . (Slepovaní) Předpokládáme je otevřená množina, je otevřený pokrytí množiny , kde pro všechna a je kolekce řezů. Kdyby každá dvojice řezů souvisela na průniku jejich doměnů, vlastně kdyby pro všechny , poté existuje jedinečný řez tak, že pro všechny .
Reference
Kategorie:Matematika Kategorie:Algebraická geometrie Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Teorie kategorií